“集合”教法上的一些新想法

丁亮 楊星光

【摘要】函數是整個數學的一個重要分支，集合又是函數的基礎，所以理解好集合非常重要。經過反復討論后，筆者們結合多年教學實踐，對高中數學里集合【1】的教法提出了三點新的想法，與同仁切磋探討，旨在拋磚引玉。

【關鍵詞】集合 新想法 問題 正整數集 空集

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0160-01

被譽為數學之王的中國杰出數學家、教育家蘇步青曾說： 數學學得好壞，不僅關系著今天能不能學好其他學科如物理、化學等，而且，更重要的是關系著畢業后能不能解決生產實踐中遇到的實際問題，也關系著今后在攀登科學高峰的道路上能不能接近和趕上世界先進水平【2】。數學的重要性，由此可見一斑。在數學這個龐大的體系中，函數卻又是一個非常重要的分支，更重要的是函數的思想貫穿了整個中學、大學，具有極其廣泛的應用價值。而函數是建立在集合的基礎之上的，現代數學的很多研究也是基于集合的角度，不僅如此，專門研究集合的理論—集合論，已被公認為全部數學的基礎。所以理解好、掌握好集合非常重要。筆者們反復討論后，結合多年教學實踐，談談如何教好集合【1】這個內容的三點新想法，供同仁參考。

1.換一種思路引入集合這個概念，啟發學生去思考

當代美國著名數學家哈爾斯說過：問題是數學的心臟，沒有問題的存在，就沒有數學活動的開始，有了問題，思維才能有方向。我們都知道，小學的學習告訴我們，一個數與另一個數有關系，比如3>2，3<4，3.2>2.1，3=3，6>4等等，即有大小關系。那么教師此時可以問學生一個很自然的問題，如果一個數與多個數有沒有關系呢？比如，一個數是3，多個數是1，3，5。如果有，那有什么關系呢，還能繼續用大小關系來刻畫一個數與多個數之間的關系嗎？此時，大家會發現，3>1，但是3=3，3<5，也就是說3一會兒比這多個數里面的數大，一會兒與這多個數里面的數相等，一會兒又比這多個數里面的數小，大小關系不固定，所以用大小關系來刻畫一個數與多個數的關系已經不行了。那么，既然已經不能用大小來表示一個數與多個數的關系了，那還有沒有其他關系呢？如果有，那用什么來刻畫它們之間的關系呢？

我們經過觀察，不難發現例子中，一個數的3在多個數里面。所以，我們可以把后面的三個數看成一個集體，而例子中，一個數的3就屬于多個數的集體1，3，5。用這種思想，我們可以繼續給學生舉例子了，比如，一個數是2，多個數是2，3。類似地，我們可以把多個數2，3看成一個集體，2就屬于這個多個數組成的集體。這樣，我們就不知不覺引入了集合這個概念的實質。接著，給學生再舉一個例子，比如一個數是2，集體是2，a，3。此時，2仍然出現在這個集體中，所以，類似地，我們依然可以很自然地說2屬于2，a，3這個新集體。當然由于1不在2，a，3這個集體中，所以1理所當然地不屬于2，a，3這個集體。課前引入部分就輕松完成了，接著，告訴學生，剛才集體這個名字，就是課本上的集合，讓學生自己結合剛才我們的幾個例子，對照一下課本上面的元素，集合，屬于，不屬于的概念，很輕松就懂集合了。

為了增加學生預習新課的主動性，也為了體現知識點之間的聯系，同時為了讓我們的教學具有很好的連貫性，當我們把“集合的表示與含義【1】”這個內容上完之后，我們不會強迫學生回去預習，而是會讓大家回想一下，剛上課時，我們說了一個數和一個數有關系，即大小關系；這一節課學得其實就是一個數與多個數的關系，那么我們自然會提醒同學們想一想，多個數與多個數有什么關系，怎么刻畫這種關系呢？還能用屬于來刻畫嗎？比如，1，2與1，3，4這個例子。分析：1屬于1，3，4，但是2不屬于1，3，4。怎么辦呢？其實這就是下次課要解決的問題。這樣，學生就會明白我們為什么要學新的數學知識，同時也會帶著趣味性去思考下一節的內容。

2.不要迷信權威，盡量減少學生記憶負擔，教師多問問學生為什么

教材【1】中第三頁有：數學中一些常用的數集及其記法，可是我們仔細觀察一下，會發現，第一個介紹的是自然數集，用N表示，其實就是0，1，2，3，4…。第二個又出來一個概念：所有正整數組成的集合稱為正整數集，記作N+，很多初學者還要花時間記憶N+就是代表正整數集。教師可以問一下同學，為什么用N+代表所有正整數組成的集合，即正整數集呢？激發學生思考。其實，仔細觀察一下，會發現：N+這個表示由兩部分組成，一部分是字母N，另一部分是“+”，“正”的意思，既然學生記住了N代表自然數集，兩部分合起來意思就是正的自然數，當然0不在其中了，只能是1，2，3，4…。這不正好是正整數組成的集合嗎？這樣，我們就可以讓學生不用去死記N+就是代表正整數集，輕松領會N+的本質意思，而且學生還知道了為什么教材上N+代表所有正整數組成的集合。

3.對空集符號“？覬”的新理解

大家都知道{0，2，6}是一個集合，0是這個集合中的一個元素。我們仔細觀察“空集”這兩個字，發現它由兩部分組成，一部分是一個“空”字，另一部分是一個“集”字，在上面的第三方面，已經說了，“集”字代表空集首先是一個集合，這只是對空集的一半“集”的理解。“空”，意思是空的，什么都沒有，說明這個集合里面什么都沒有，連0都沒有，所以在0上加一斜線，表示去掉0，空集連0這個元素都沒有。

中國科學院院士、第三世界科學院院士、法國科學院外籍院士李大潛說：數學蘊含并造就了廣泛的應用空間，但對普通人來說，它的抽象形式會使它變成不可捉摸的東西，繼而產生理解上的障礙【3】。筆者們通過這篇文章談了“集合”教法三點新想法，希望能盡量減輕初學者理解上的障礙。

參考文獻：

【1】劉紹學. 高中數學必修1[M]. 第2版.北京：人民教育出版社，2007年1月。

【2】蘇步青. 談談怎樣學好數學[M]. 第1版.上海：上海教育出版社，1989年6月。

【3】李大潛. 數學學習的本質是提高素質[N]. 中國青年報，2012年7月16日（12版）。