高考立幾的證明與錯因分析

葛劍

摘 要： 高考對立體幾何的考查題型基本穩(wěn)定，常考一道填空題和一道解答題，且以容易題和中檔題為主，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中比較容易輕視，認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握了基本知識與技能，具有較強(qiáng)的解題能力，只要再稍加練習(xí)就可以了。但其實很多學(xué)生在高考立體幾何解答題的證明中失分是非常嚴(yán)重的，本文著重強(qiáng)調(diào)立體幾何在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的重要性。

關(guān)鍵詞： 高考 立體幾何 證明 錯因 復(fù)習(xí)策略

立體幾何內(nèi)容既承擔(dān)著對邏輯思維能力的考查，又承載著對空間想象能力的考查。注重空間線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系的判定，淡化空間角和空間距離的考查。以平行或垂直的證明為主，簡單的線段長、體積表面積計算為輔。考綱對立體幾何的要求是：柱、錐、臺、球及其簡單組合體；柱、錐、臺、球的表面積與體積；平面及其基本性質(zhì)；直線與平面平行、垂直的判定及性質(zhì)；兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì)。下面以考綱為基準(zhǔn)，談?wù)劻Ⅲw幾何的常見證明、錯誤原因及應(yīng)對策略。

一、立幾的常見證明

1.線線關(guān)系的證明：線線平行的證明除了平面幾何中常用的中位線定理、平行四邊形性質(zhì)及平行線分線段成比例定理的逆定理之外，在空間立體幾何中，常用方法有平行公理、線面垂直性質(zhì)定理、線面平行性質(zhì)定理、面面平行性質(zhì)定理等。線線垂直的證明在平面幾何中主要有勾股定理、等腰（邊）三角形底邊上的中線和底邊垂直、菱形（正方形）對角線互相垂直等，在空間立體幾何中主要由線面垂直的定義逆用得到。

2.線面關(guān)系的證明：線面平行的證明主要由線面平行判定定理和面面平行的性質(zhì)得到。線面垂直的證明常用方法是線面垂直判定定理和面面垂直性質(zhì)定理。

3.面面關(guān)系的證明：面面平行的證明主要由面面平行判定定理得到。面面垂直的證明主要由面面垂直的判定定理得到，有時可用兩平面所成的二面角為直二面角得到。

立體幾何的證明多以空間幾何體為載體，判斷空間線、面平行與垂直等位置關(guān)系。平行中線線平行是核心，垂直中線面垂直是關(guān)鍵。在證明過程中要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線也是解題的常用方法。

二、錯誤原因分析

1.識圖、作圖障礙。圖形語言是立體幾何學(xué)習(xí)過程中進(jìn)行交流的數(shù)學(xué)工具，是現(xiàn)實對象的空間關(guān)系的載體。由于學(xué)生對立體幾何圖形的認(rèn)知缺乏空間想象，往往不易建立空間概念，在頭腦中難以形成較準(zhǔn)確、直觀的幾何模型，從而反映在做沒有立體幾何圖形或只有部分圖形題時不會根據(jù)題意畫出圖形或輔助線，或畫出的圖形不易辨認(rèn)，甚至作出錯誤的圖形，誤導(dǎo)了解題且不易查錯，從而影響解題。

2.概念理解不透，條件使用不清。理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵，但學(xué)生往往對于基本概念的理解僅僅停留在機(jī)械的識記上，不注意概念的內(nèi)涵和外延，易混概念間的區(qū)別和聯(lián)系，認(rèn)為記住了概念就掌握了概念。對于如正三棱錐與正四面體、長方體與平行六面體、直三棱柱與正三棱柱、球面與球等等基本概念的區(qū)別不太理解，什么幾何體什么條件在證明時可以直接使用不清楚。

3.思維定勢，臆造定理致錯。

4.思維混亂，語言書寫障礙。數(shù)學(xué)思維是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動。學(xué)生思維能力是否深刻、是否具有邏輯性將直接影響證明過程的表達(dá)，在證明時有的同學(xué)甚至有解題思路，但思維混亂，書寫條理不清晰。并且立體幾何一開始就借用集合符號表示空間中的點、線、面之間的關(guān)系，使用符號語言進(jìn)行推理、論證。但由于符號本身具有抽象性，極易錯寫、漏寫，這就共同導(dǎo)致證明過程的混亂和錯誤。

三、立幾證明復(fù)習(xí)策略

1.強(qiáng)化系統(tǒng)知識，提升思維水平。立體幾何中涉及的概念、性質(zhì)和定理比較多，知識點之間的聯(lián)系也比較緊密。學(xué)生在平時練習(xí)中要注意歸納和概括，對知識點準(zhǔn)確把握，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的運用，掌握對一類題目的常規(guī)解法，高考教學(xué)復(fù)習(xí)時更要不斷總結(jié)反思，強(qiáng)化系統(tǒng)知識。

2.重視能力培養(yǎng)，促進(jìn)縝密思維。在立體幾何教學(xué)過程中教師應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，可以利用多媒體輔助教學(xué)生動、形象、具體的特點創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容的情境，展示形象直觀的空間幾何體及動態(tài)的圖形變化，給學(xué)生直觀的感受，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識立體圖形的位置及變換。

教師在教學(xué)過程中應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)立體幾何中定理的運用條件，只有定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論，教師應(yīng)當(dāng)適當(dāng)示范，并注意通過對不準(zhǔn)確或錯誤推理案例的警示強(qiáng)化推理語言的敘寫，逐步使學(xué)生養(yǎng)成縝密的推理習(xí)慣。

3.加強(qiáng)規(guī)范訓(xùn)練，重視解題細(xì)節(jié)。教師應(yīng)重視常規(guī)證明題的規(guī)范訓(xùn)練，切忌語言表達(dá)不夠規(guī)范、過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯誤，符號語言書寫錯誤或條理不清晰等，從不起眼的細(xì)節(jié)抓起，只有夯實基礎(chǔ)，規(guī)范訓(xùn)練，學(xué)生的基本知識和基本技能才能喚起高層次的數(shù)學(xué)思維，提高邏輯推理能力，才能正確地解決各種問題。

近年來高考對立體幾何證明題的考查一般以多面體為載體，線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用為主。由于立體幾何證明題屬于常規(guī)題、中檔題，因此立體幾何的教學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)緊扣教材，熟練掌握課本中的每一個概念、每一個定理的種種用途，突破識圖、作圖的道道難關(guān)，同時要注意總結(jié)證明平行、垂直的常用方法和技巧，注意符號語言的書寫，做到條理清晰段落分明，在解題過程中進(jìn)行反思，在反思中總結(jié)、提煉，不斷提高空間想象能力及分析問題和解決問題的能力。