排列與組合的教學(xué)研究

劉冰

【摘要】排列與組合是數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要概念，也是教與學(xué)的難點(diǎn)，作者結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐，從分步與分類、有序與無序入手，對(duì)這兩個(gè)概念的本質(zhì)區(qū)別和各類應(yīng)用進(jìn)行了深入的研究，對(duì)如何開展教學(xué)給出了具體的方法和步驟，可以為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)提供一定的理論指導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；排列組合；計(jì)數(shù)原理；教學(xué)研究

排列與組合是數(shù)學(xué)中一個(gè)獨(dú)特而重要的內(nèi)容，較之其他知識(shí)具有更抽象、更靈活的特點(diǎn).學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)、提高分析和解決問題的能力是一個(gè)很好的鍛煉機(jī)會(huì).現(xiàn)結(jié)合自己多年教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，談?wù)勅绾芜M(jìn)行排列與組合的教學(xué).

一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分別是分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.它們看起來很簡單，卻是排列與組合的基礎(chǔ)和核心，牢固掌握加法原理和乘法原理是學(xué)好排列與組合的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.

教學(xué)中可通過日常生活中具體生動(dòng)的事例逐步引入這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，然后著重補(bǔ)充講解它們的區(qū)別及應(yīng)用條件：做一件事，如果有幾類互相排斥的完成方法，那么就應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，把每一類的做法種數(shù)相加；如果需要分幾個(gè)互相獨(dú)立的步驟，只有把每一步驟都完成，才能完成這件事，就應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理把每一步驟的做法種數(shù)相乘.抓住這一特點(diǎn)，可更簡單地歸結(jié)為：

分步——相乘分類——相加

如何區(qū)分分步與分類呢？簡單地說，如果每次得到的是中間結(jié)果，則為分步；如果每次得到的都是最后結(jié)果，則為分類.這樣教學(xué)對(duì)學(xué)生來說更容易理解及掌握.當(dāng)然，問題并非都這么簡單，如果在某個(gè)步驟中又分好幾類，或在某一類中又要分好幾個(gè)步驟，就需要綜合運(yùn)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

二、排列與組合概念的教學(xué)

排列與組合的概念是比較抽象的，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合教材上的例題，列出各種不同的排列（組合）結(jié)果，然后總結(jié)出各例子共有的特點(diǎn)，最后概括、抽象出問題的本質(zhì)屬性，從而給出排列（組合）的一般定義.

排列與組合的概念，從二者的一般定義上看好像很相似，都是從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，這是它們的共同點(diǎn)；而對(duì)取出的m個(gè)元素是否進(jìn)行排序，是判斷屬于排列問題還是屬于組合問題的關(guān)鍵.抓住這個(gè)特點(diǎn)，可以簡單地歸結(jié)為：

既取又排——排列只取不排——組合

排列與組合的概念教學(xué)的關(guān)鍵就是讓學(xué)生了解二者之間本質(zhì)的區(qū)別.

三、排列數(shù)與組合數(shù)的教學(xué)

引入排列、組合的概念之后，應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生會(huì)具體寫出某些個(gè)數(shù)不太多的所有排列（或組合），這對(duì)鞏固概念和推導(dǎo)排列數(shù)（或組合數(shù)）公式，起到承前啟后的作用，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的好機(jī)會(huì)，因此它是教學(xué)過程中不可缺少的一環(huán)，應(yīng)引起足夠的重視.在推導(dǎo)出排列數(shù)Amn、組合數(shù)Cmn的公式后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的特點(diǎn)，掌握公式的各種變形，并通過做一定數(shù)量的習(xí)題強(qiáng)化，以達(dá)到理解概念熟悉公式，能靈活運(yùn)用的目的.

四、關(guān)于應(yīng)用題的教學(xué)

這部分是教學(xué)中的難點(diǎn).排列與組合問題由于條件不同，要求不同，因而解題的方法變化多端；思維的方式不同，就會(huì)有不同的解題方法.教材例題一般都是典型的例子，應(yīng)講深講透.在講解例題過程中，要穿插介紹分類及分步的原則.分類原則：分類必須用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，無遺漏，每類之間互相排斥；分步原則：分步必須每一步互相銜接，不重復(fù)，每步完成一個(gè)內(nèi)容，所有步驟銜接起來就是完成事件的全過程.這兩個(gè)原則對(duì)解決復(fù)雜問題非常有幫助.

總結(jié)各類排列、組合問題，可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題大致分為三種類型：

1.沒有附加條件的單純排列或組合題——稱之為“基本題”；

2.有附加條件的單純排列或組合題——稱之為“變化題”；

3.排列與組合結(jié)合起來的綜合性題——稱之為“綜合題”.

“基本題”可以幫助學(xué)生鞏固排列與組合的概念，建立“有序與無序”的思維；“變化題”與“綜合題”可以培養(yǎng)、提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

正確解題的前提是準(zhǔn)確理解題意，尤其是對(duì)“變化題”和“綜合題”.教學(xué)中應(yīng)特別注意引導(dǎo)學(xué)生考慮以下三點(diǎn)：

一是區(qū)分問題的性質(zhì)，是排列問題還是組合問題.

二是明確共有多少元素，每次取幾個(gè).

三是考慮有什么限制條件，特別是有無隱含的限制條件.

尤其對(duì)第三點(diǎn)，應(yīng)給予特別的重視，分析清楚所有限制條件，是解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵.解題的基本思路是：特殊元素和特殊位置給予特殊安排（稱之為“三特思路”）.下面舉例說明：

例1從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取五個(gè)數(shù)字，問：

（1）可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

（2）沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，1在首位、5在末位的數(shù)有多少個(gè)？

（3）沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，有多少個(gè)是偶數(shù)？

分析與解答這是一個(gè)與“順序”有關(guān)的問題，屬于排列問題，并且每個(gè)問題都含有隱含條件或附加條件.

總之，在排列與組合的教學(xué)中，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是基礎(chǔ)，排列與組合的概念是重點(diǎn)，靈活綜合運(yùn)用是難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)緊密圍繞這三個(gè)方面，通過深入細(xì)致的分析講解，并配合一定數(shù)量的例題與練習(xí)，達(dá)到提高學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，拓展學(xué)生分析和解決問題能力的目的.