探析數學史在數學概念教學中的應用

歐陽新武

【摘要】數學史是介于文理科之間的邊緣學科，要打破自然學科與社會學科多年的鴻溝，數學史將發揮它的中介作用，在兩者之間架起一座橋梁.作為一名數學教師掌握數學史知識內涵之后，不僅本人受益，更重要的是，可以結合數學概念教學.在適當的時候采取怎樣的策略融入數學史進行數學概念教學？等等.本文對這些問題從理論上和實踐上進行深入細致的探討.

【關鍵詞】 數學概念教學；應用數學史；融入數學史

現在教師將數學史應用于概念教學的一般方法為：利用數學課本中的閱讀材料，選取比較有意思的科學家的小故事講講，或者是“宣讀”一下有關的數學史資料.有極少的教師關注數學史中對學生認知的幫助，但是對數學史如何應用于概念教學的認知沒有形成有效的策略.數學史素養不僅僅是教師掌握的數學史知識的量，更重要的是教師在教學中自然流露出的“歷史感”， 這種“歷史感”貫穿整個教學過程中，而不是數學史資料的“宣讀”.

教師對數學史的少運用還有一個原因是“時間緊迫，難以講授”，其實這是對數學史的誤解，數學史存在三種形態，我們運用的是數學史的教育形態，即將所教概念在歷史的脈絡中重新整理，用新角度來講授，使數學史恰如其分地流露在數學教育中.

臺灣師范大學洪萬生教授指出教師應用數學史至少可以分為三個層次：

第一，說故事；

第二，在歷史脈絡中比較數學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養全方位的認知能力和思考彈性；

第三，從歷史的角度注入數學活動的文化意義，在數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想.

據此，在概念教學中應用數學史也相應的分為三種層面：

1.情感層面——激發學習興趣

情感層面是指在概念教學通過歷史上發生的小故事、科學家的傳記、趣題等內容提高學生學習的興趣.

例如，坐標系概念的教學中可以從講故事著手：

傳說中有這么一個故事：有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學家、數學家、物理學家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤.他就拼命琢磨，通過什么樣的辦法才能把“點”和“數”聯系起來.突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗.他想，可以把蜘蛛看作一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻腳作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3，2，1，也可以用空間中的一個點 P來表示它（如圖 1）.同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組兩個有順序的數來表示（如圖2）.于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系.

無論這個傳說的可靠性如何，有一點是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤于思考的人.這個有趣的傳說，就像瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發明了蒸汽機，牛頓被蘋果砸了后發現了萬有引力一樣，說明笛卡爾在創建直角坐標系的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發，觸發了靈感.

2.認知層面——促進對概念的理解

認知層面是指在歷史脈絡中比較數學家們所提供的不同方法，拓寬學生的視野，提高學生對概念的理解.在教學中教師要總結知識發展的規律，概念發明和發現的方法.

例如：在函數概念的教學中我們可以遵循歷史的足跡，比較函數概念在各個時期的變化，找到它們的區別與聯系.

有些數學概念是已有概念的擴充，若能揭示概念的擴充規律，便可以水到渠成地引入新概念.

例如復數概念的教學中可以先回顧已經歷過的幾次數集擴充的事實：正整數→自然數→非負有理數→有理數→實數.然后教師提出問題：上述數集擴充的原因及其規律如何？

分析如下：實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行，數集的擴充過程體現了如下規律：

（1）每次擴充都增加規定了新元素；

（2）在原數集內成立的運算規律，在數集擴充后的更大范圍內仍然成立；

（3）擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題.

有了上述準備后，教師提出問題：負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善，因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性.那么，怎樣解決這個問題呢？教師呈現數學史上復數概念的產生遇到的困難和科學家們的解決思路，借鑒上述規律，為了擴充實數集，引入新元素i，并作出兩條規定.這樣學生對i的引入不會感到疑惑，對復數集概念的建立也不會覺得突然，使學生的思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中，為概念的理解和進一步研究奠定基礎.

3.文化層面——體會概念中蘊含的文化

文化層面是指從歷史的角度注入數學概念一定的文化意義，主要是講概念的價值和意義.

例如坐標系概念可以從以下方面介紹：

（1）在學科中的意義

直角坐標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋梁.它使幾何概念得以用代數的方法來描述，幾何圖形可以通過代數形式來表達，這樣便可將先進的代數方法應用于幾何學的研究.

笛卡爾在創建直角坐標系的基礎上，創造了用代數方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何.他的設想是：只要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的.比如，我們把圓看成是一個動點對定點O做等距離運動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數到定點O的距離相等的點組成的.我們把點看作是形成圖形的基本元素，把數看成是組成方程的基本元素，只要把點和數掛上鉤，也就可以把幾何和代數掛上鉤.

把圖形看成點的運動軌跡，這個想法很重要！它從指導思想上，改變了傳統的幾何方法.笛卡爾根據自己的這個想法，在《幾何學》中，最早為運動著的點建立坐標，開創了幾何和代數掛鉤的解析幾何.在解析幾何中，動點的坐標就成了變數，這是數學第一次引進變數.

（2）歷史上的評價

恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學.”

以上三個應用的層面，在教學中都要有所涉及，但側重點不同.從概念教學目的考慮，應以認知層面為主，以文化層面和情感層面為輔.

下面談談采取怎樣的策略融入數學史使數學概念教學能有效地達到對數學概念的認知層面.

1. 問題策略——設置問題，激發學習動機

問題策略是指為了豐富學生在概念學習中的體驗，將數學史中數學概念的形成過程、形式化的數學概念以及一些相關的材料轉化成數學問題，形成問題情境，在問題的探究中“學數學、做數學、用數學”，最終構建概念的心理表征.

動機來源于需要，而推動數學發展的原始動力就是數學問題.正是有了形形色色的數學問題，才產生了豐富多彩的數學概念，因此，概念教學的起點應是問題.我們平時所有的教科書是按演繹體系來編排的，即概念→定理→問題解決，反映了一種靜止的數學觀，但歷史的真實面目并非如此，這是教學法的違背.真正的數學教育應遵循數學發展漸進系統化的過程，教學生像數學家那樣“再創造”的方法去學習.重要的是，教科書的編寫人員應將一些歷史概況和數學思想變遷的重要例子寫進教材，而學生通過解題討論不同的猜想和過程，對自己的概念形成和難點及重要的觀念的改變做進一步的了解也同樣很重要.

數學史的應用必須問題化.這可以從兩方面下手：其一，把概念生成過程問題化.一個概念是如何引入的？必要性和重要性何在？這些問題往往也是區分概念的本質特征和非本質特征的關鍵所在.因此教學中應盡可能把知識的發生過程轉化為一系列帶有探究性的問題，真正使有關材料成為學生思考的對象.其二，把形式化的數學材料轉化為蘊含概念本質特征、貼近學生生活的、適合學生探究的問題.通過學生動手操作，把數學拉到學生的身邊，使數學變得親切，把學生引向概念本質.

2. 有指導的再創造策略——追溯歷史，重建數學概念

有指導的再創造策略是指利用數學史料進行課堂設計讓學生經歷數學知識的形成與應用，自主地生成概念.

再創造策略可以使學生更好地理解數學概念形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，增強學好數學的愿望和信心.特別是對于抽象數學概念的教學，要特別關注概念的形成的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式.

弗賴登塔爾說得好：“我們不應該遵循發明者的足跡，而是經過改良同時有更好的引導作用的歷史過程.”在教學過程中，學生應當有機會經歷與數學事件的歷史發展相類似的探究過程，但此時并不是真正地去創造，而是在教師的引導下獲得知識.學生沿著歷史發展的路徑，了解某部分的數學概念的來龍去脈，在此過程中他們的學習也包含了再創造、再發現的意義.

有指導的再創造策略的應用要求教師的課堂設計應當具有一定的開放性，為學生提供“提出問題、探索問題”的空間，培養學生勤于思考的習慣、堅忍不拔的意志和勇于創新的精神.信息技術為數學實驗提供了可能，教師應盡可能地使用科學計算器、計算機及軟件、互聯網以及各種數學教育技術平臺，支持和鼓勵學生用現代信息技術學習數學、開展課題研究，改進學習方式，提高學生的創新意識和實踐能力.

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