淺析高等數(shù)學(xué)解題中輔助函數(shù)的建構(gòu)

劉亞敏

【摘要】建構(gòu)最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是高等數(shù)學(xué)解題中的難點，看似無章可循，但仔細(xì)研究仍不失基本方法和一般規(guī)律，問題是如何加以歸納總結(jié)，本文根據(jù)高等數(shù)學(xué)各部分知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以實例就建構(gòu)輔助函數(shù)問題進(jìn)行初步探究.

【關(guān)鍵詞】輔助函數(shù)；建構(gòu)方法

建構(gòu)性解題思想及其方法是高等數(shù)學(xué)解題中一種重要的思想方法，筆者通過對輔助函數(shù)的基本特點及建構(gòu)方法的闡述，想起到拋磚引玉之作用.

一、輔助函數(shù)的基本特點

1.輔助函數(shù)題設(shè)中沒有，結(jié)論中也不存在，僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們所熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明.

2.同一個命題可建構(gòu)多個輔助函數(shù)用于解題 .

3.表面上看建構(gòu)輔助函數(shù)的思路較寬廣，實質(zhì)上，不同的輔助函數(shù)直接關(guān)系到解題的難易，因此，建構(gòu)最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

二、建構(gòu)輔助函數(shù)的基本方法

1.聯(lián)想分析：要建構(gòu)一個與所證結(jié)果有關(guān)的輔助函數(shù)，而后再運用已知條件及有關(guān)概念，推理得出所要證明的結(jié)果，通常是先從一個愿望出發(fā)，聯(lián)想起某種曾經(jīng)用過的方法和手段，而后借助于這些方法和手段去接近目標(biāo)，或者再從這些方法和手段出發(fā)，又去聯(lián)想別的通向目標(biāo)的方法和手段，這樣繼續(xù)下去，直至達(dá)到我們能力所及的起點或把問題歸結(jié)到一個明顯成立的結(jié)論為止.因此，聯(lián)想是我們構(gòu)思輔助函數(shù)的階梯.

聯(lián)想方法多適用于不等式命題的證明和有關(guān)方程實數(shù)根的討論.

總之，輔助函數(shù)的建構(gòu)離不開分析、推理和聯(lián)想，解題者只有把知識學(xué)得系統(tǒng)、深入、融會貫通，才能取得事半功倍之效果.恰當(dāng)?shù)臉?gòu)思，巧妙的假設(shè)，充分的推理論證是每個研習(xí)高等數(shù)學(xué)的人們所不可或缺的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì).