數列求和通用方法及其推廣應用

李廣浩

【摘要】通過觀察數列通項公式及其和的表達式，發現了一些規律，但缺乏普遍性的證明，現給出一些局部證明，寫出來分享給大家，以供數學專家、學者們作更深入的研究，為數學作點貢獻。我們知道數列是一種特殊的函數，其定義域為全體自然數，數列和的表達式也具有一般函數在某個區間的和為這個一般函數的積分的性質，故現對某些數列經行研究，并給出數列求和通用方法，再作應用示范和適當推廣。

【關鍵詞】數列通項公式積分

【Abstract】Observing the general formula and its sequence and expression, found some regularity, but the lack of proof of universality, now give some partial proof, write out to others for math experts, scholars have made more in?鄄depth study of mathematics as a point contributions. We know that the series is a special function, the domain of all natural numbers, the number of columns and expressions also has a general function in a certain range, and for the general function of the integral nature, it is now certain number of columns by rows and gives the series summation general method, and then make the appropriate application demonstration and promotion.

【Keywords】SeriesGeneral formula Integration

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）07-0145-01 已知數列求和通用表達式為：■f(i)=Sn：現觀察下列數列和及其通項表達式：f(i)=a1+（i-1)d時,Sn=■[2a1+(n-1)d]；f(i)=a1ri-1時Sn=■；當f(i)=i1時，Sn=■n2+■n；f(i)=i2時，Sn=■n3+■n2+■n；f(i)=i3時，Sn=■n4+■n3+■n2；不難發現如下規律：數列和表達式總比該數列通項公式高一階。為方便闡述：當n→+∞時：數列和為常數定義為收斂數列；數列和為關于n的變量時定義為發散數列。收斂數列其求和方法相對容易，本文略。對于發散數列通過觀察可猜想：當f(i)有通項公式且為關于i的某類連續單調增函數時，則數列和的表達式總可寫成一個比通項公式高一階的關于n同類函數。（此定律命名為和積定理）。對于等比等差數列已顯然成立了，現對通項公式形如f(i)=■■a■■i■的多項式給與證明，先證明f(i)=ik的情況，由歸納法證明如下：當k=1時顯然是成立的。現令k=m時成立，及f(i)=im時（m>1)其和可寫作■im=f ■n即：■im=1m+2m+…+nm=■aini=f ■n；為方便闡述現補充f ■n含義：f ■n表示一個關于n的k次多項式，其中多項式系數組成的矩陣為A。則：■=1*1m+2*2m+…+n*nm=n*f ■n-[(n-2)2m+(n-3)3m…2*(n-2)m+1*(n-1)m]由二項式定理分解求和上式必有■im+1=f ■n，即■im+1=f ■n故k=m+1時亦成立。由歸納法知和積定理在通項公式f(i)=ik時成立。當通項公式為一個多項式f(i)=■■a■■i■，對此多項式疊加可得到：■■a■■i■=f ■(n)；由此我們得到求多項式為f(i)=■■a■■i■的發散數列和表達式一般方法：令數列和Sn=f ■(n)，分別取n為1，2……k+1，得到一個k+1個未知多項式系數ai組成的線性方程組：ai組成未知系數矩陣A可通過求解多元一次方程組得到，也可由ai系數組成的逆矩陣與方程值Sn組成的矩陣相乘得到。

應用和推廣

1.應用：

現求當數列通項公式f(i)=i4時和的公式：令Sn= ■i4=■ajnj；令i=1，2，3，4，5得到一個五元一次方程組，并解之得：a1=-■；a2=0;a3=■;a4＝■;a5=■即：■i4=■ n5+■n4+■n3-■n；采用歸納法可證明其正確（證明略）。（另觀察通項公式f(i)=iK情形不難發現如下規律：多項式的奇數項的系數之和與偶數項的系數之和均等于1/2；且最高次項的系數為(k+1)-1，有興趣的同仁不妨證明之）

2.推廣：

對于通項公式為任意函數

情形是否一樣適用？有待專家

學者們繼續研究。如數列表達

式為減函數或周期函數；且其對

應的數列不為收斂數列時，是否

可由和積定理推導出其和的表

達式？下面給出對于通項公式

為一個關于n的任意單調連續

增且高價于的f(x）=x的函數的

證明：

為便于證明先假設一任意

進過原點的單調增函數f(x)在

x≥0區間可積，且積函數可寫

成■f(x)=F(x)，圖（一）中方格區

面積為f(n)：斜線區為f(x)在n-δn-1~n-δn區間的積分，并使之面積為f(n)，即f(n)=■f(x)；對于單調增函數，拿f(x）=x函數圖形作參照，采用幾何作圖法可證明■＞δ1＞δ2＞…δn-1＞δn，即可得到如下結論：■f(i)=■f(x)=F(n+δn)-F(0)當n為一常數時，即δn≠0，令N=n+δn，A=F(0)時其和函數F(n+δn)-F(0)=F(N)-A；其和由二項式定理分解求和得到函數表達式符合和積定理；若n→+∞時可認為趨向于0，即可得到結論■f(i)=F(n)，和積定理成立。對于不經過原點情況，其和函數只需增加一項nf(0)，故和積定理對于通項公式為一個關于n的任意單調連續增且高價于的f(x)=x的函數，且在f(0)為常數時是成立的。