基于Bayes統計推斷的波動性模型

李阿勇

[摘 要] 本文在貝葉斯理論框架下對常見的兩類模型：GARCH模型和SV模型進行了比較研究，同時基于上證綜指和深證成指數據對兩類模型進行了實證研究。無論在理論上還是實證分析，SV模型對資產收益波動性的刻畫能力要強于GARCH模型。

[關鍵詞] 貝葉斯； 隨機波動； GARCH

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 06. 044

[中圖分類號] F832.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）06- 0073- 03

0 引 言

波動性模型通常用來描述資產收益率的條件方差，目前對波動性建模可以分為兩類： ① ARCH模型及其擴展形式，這類模型采用確定性函數描述資產收益率的條件方差； ② SV模型及其擴展形式，這類模型采用隨機方程來描述資產收益率的條件方差。Engle在對英國的經濟通貨膨脹進行研究的過程中提出了ARCH模型，Engle假設資產收益率的條件方差是時變的，同時可以用誤差滯后項的平方進行解釋。Bollerslev在Engle研究的基礎上，將資產收益率的條件方差同時可以由其滯后項作為解釋變量納入模型中，提出了GARCH模型。GARCH模型是對ARCH模型的重要擴展，在研究金融和資本市場時間序列的特征中得到了廣泛運用。GARCH模型的擴展形式有很多，Bollerslev、Chou、Kroner等學者都曾對GARCH模型進行過詳細的論述，Li等學者也對GARCH模型族進行過綜述。SV模型最早由Taylor等學者提出，Taylor假設收益率的擾動項是不可觀測的，可以用一個隨機過程進行刻畫，這個假設決定了隨機波動模型是一個具有動態波動特性的模型。Clark、Harvey、Polson、Rossi等學者在早期均對隨機波動模型進行過研究，Ghysels等學者對SV模型族進行了詳細的論述。本文選取應用最廣泛的GARCH - N，SV - N兩個模型進行建模，統一采用基于Gibbs抽樣技術的MCMC方法對這兩個模型的參數進行估計，并利用中國股市數據進行實證研究，分析這些模型對我國股票市場的刻畫能力。

1 GARCH模型及其貝葉斯統計推斷

ARCH形式比較簡單，但其在實際使用過程中往往需要用很高的階，在應用時受到較大的限制。Bollerslev提出了廣義ARCH模型（GARCH模型），解決了ARCH模型參數過多的缺點。GARCH模型同時把均值修正后資產收益率的過去值和條件方差的過去值作為條件方差的解釋標量，是對ARCH模型的重要擴展，在研究金融和資本市場時間序列的特征中得到了廣泛運用。GARCH模型的具體形式如下：

at = σtεt，εt ～ i.i.dN（0，1） （1）

σ2t = α0 + ■αia2t - i + ■βj σ2t - j （2）

式中，p ≥ 0，q ≥ 0，α0 > 0，αi ≥ 0，βj ≥ 0。

at為時間t的均值修正收益率，σ2t為條件方差，εt服從標準正態分布，p ≥ 0，q ≥ 0，α0 > 0，αi ≥ 0，βj ≥ 0。這個模型被稱為GARCH - N模型。

2 SV模型及其貝葉斯統計推斷

SV模型最早由Taylor等學者提出，Taylor假設收益率的擾動項是不可觀測的，可以用一個隨機過程進行刻畫，這個假設決定了隨機波動模型是一個具有動態波動特性的模型。SV模型具體形式如下：

at = σtεt，εt ～ i.i.dN（0，1） （3）

lnσ2t = α0 + βlnσ2t - 1 + ηt，ηt ～ i.i.dN（0，σ2η） （4）

式中，at表示消去均值后第t期的收益。

3 實證研究

為了分析GARCH模型和SV模型對中國股票市場波動率的刻畫能力，本文選取上證綜指和深圳成指來對兩個模型進行實證研究。我國股票市場與1996年12月16日起實行了漲跌停板限價交易制度，為了保證數據的一致性，本文樣本數據選擇1997年1月2日至2013年3月1日，共3 908天的日線數據，同時考察日收益率，以每日收盤價為基準。本文采用連續復利計算收益率，即rt = ln（St） - ln（St - 1），St為第t日的收盤價，rt為第t日收益率。

表1為上證綜指收益率與深證成指收益率的描述性統計結果。從表中可以看出上證綜指收益率還是深證成指收益率的峰度分別為7.329 8、6.439 7，遠大于正態分布的峰度3，說明收益率序列分布呈現明顯尖峰肥尾特征。表中J - B為Jarque - Bera檢驗統計量，用以檢驗序列是否服從正態分布，H = 1則拒絕序列服從正態分布的假設，J - B統計量也表明收益率分布并非正態分布。LM（q）為Engle提出的拉格朗日乘子（LM）q階檢驗數，H = 1則拒絕波動率自相關系數全為0的假設，說明序列有ARCH效應。小括號內的數值為檢驗p值。LM檢驗表明無論之后階數取10或20，LM統計量都較大，波動率自相關系數全為0的假設被拒絕，說明模型具有明顯的ARCH效應，即明顯的波動聚集性。

為了進一步對收益率的情況進行分析，本文對上證綜指收益率序列和深證成指收益率序列的平穩性進行研究，分別對兩組收益率序列作ADF單位根檢驗，滯后階數為5。在顯著性水平1%下，上證綜指收益率的ADF統計量為 -25.353 6，遠小于臨界值 -2.863 6，接受上證綜指收益率序列為隨機游走的概率為0.001，因此拒絕上證綜指收益率為隨機游走的假設，即該收益率序列是平穩的。深證成指收益率的ADF統計量為 -25.115 9，也遠小于臨界值，說明深證成指收益率也是平穩的。

目前對SV模型最有效的估計方法是基于MCMC技術的貝葉斯統計推斷方法，MCMC方法最重要的軟件包是BUGS和WinBUGS。BUGS是Bayesian inference using gibbs sampling的縮寫，最初由英國劍橋大學生物統計研究所開發，是目前進行MCMC計算最方便的軟件。WinBUGS是BUGS的Windows版本，可以免費使用，本文運用WinBUGS軟件完成GARCH模型和SV模型的參數估計工作。對兩個模型模擬30 000次，首先對模型的收斂性進行判別。

圖1為樣本迭代軌跡歷史，由圖1可以看出迭代歷史基本趨于穩定，說明迭代過程是收斂的，從自相關函數圖也可對收斂性進行判斷。由自相關函數圖可以看出，模型中各參數的自相關函數很快接近于0，說明迭代過程已經收斂。

得到模型的各參數估計結果見表2。

以2013年3月1日至2013年4月1日共21個交易日的上證綜指和深證成指日收益數據為樣本外數據對兩類模型的樣本外預測能力進行評價。

評價指標選取均方根誤差統計量（RMSE）和絕對誤差統計量（MAE），兩個統計指標如下：

RMSE = ■ （5）

MAE = ■| ri - ■i | （6）

式中，ri為樣本點i的實際收益率，■i為預測收益率。

由RMSE和MAE的表達式可以看出兩個統計指標值越小說明預測結果越精確。通過前文所述的模型進行樣本外數據預測效果。

由表可以看出無論是RMSE指標還是MAE指標，SV模型的預測效果均好于GARCH模型。

4 結 論

本章對常見的兩類模型：GARCH模型和SV模型進行了比較研究，同時基于上證綜指和深證成指數據對兩類模型進行了實證研究。無論在理論上還是實證分析都可以看出SV模型對資產收益波動性的刻畫能力要強于GARCH模型。上海股市收益率與深圳股市收益率存在明顯的波動聚集性和尖峰厚尾性。GARCH模型和SV模型對這兩種性質均具有較強的刻畫能力，而且SV模型對兩個股票市場波動性的描述更精確。

主要參考文獻

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