數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤分類例析

劉淵樞

【摘要】數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的普遍性行為。本文旨在通過對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行合理分類，從心理上、知識(shí)上、邏輯上和策略上等進(jìn)行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學(xué)反饋，以便適時(shí)調(diào)整教學(xué)方案；又可提升學(xué)生自我糾錯(cuò)能力，并獲得有益的心理發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】解題錯(cuò)誤 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 邏輯性錯(cuò)誤 充要條件

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）02-0154-02

邏輯性錯(cuò)誤是指學(xué)生在解題過程中由于違反邏輯思維的形式和規(guī)律而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，雖然邏輯性錯(cuò)誤在本質(zhì)上也可歸類為知識(shí)性錯(cuò)誤，但導(dǎo)致解題出錯(cuò)的知識(shí)盲點(diǎn)不是具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而在于邏輯，是因?yàn)閷W(xué)生在解題過程中違反了邏輯思維的形式和規(guī)律而產(chǎn)生錯(cuò)誤。筆者把在教學(xué)實(shí)踐過程中出現(xiàn)的常見邏輯性錯(cuò)誤進(jìn)行細(xì)分，并以具體案例說(shuō)明如下。

一、分類討論不當(dāng)

分類是揭示概念外延的邏輯方法，解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)經(jīng)常需要進(jìn)行分類討論，其依據(jù)是形式邏輯中關(guān)于概念劃分的規(guī)則：（1）分類應(yīng)該是相應(yīng)對(duì)稱，即劃分所得的子項(xiàng)外延總和應(yīng)該等于母項(xiàng)的外延（也可以簡(jiǎn)稱為不重不漏）；（2）應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)來(lái)進(jìn)行；（3）子項(xiàng)要互相排斥，即子項(xiàng)的外延之間是不相容的并列關(guān)系，不能交叉或從屬；（4）若需多級(jí)劃分，應(yīng)按層次逐級(jí)進(jìn)行。

類似的分類討論不全有：首項(xiàng)系數(shù)有字母時(shí)字母為0的討論；二次函數(shù)定（動(dòng)）區(qū)間關(guān)于對(duì)稱軸位置的討論；直線方程斜截式關(guān)于斜率不存在情況的討論……都是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常出現(xiàn)的分類討論不全問題。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，在教學(xué)過程中就要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，并讓學(xué)生把此類易錯(cuò)問題做為材料積累起來(lái)，以起到“免疫”的效果。

二、虛假論證

這是典型地違反邏輯思維的充足理由律，以虛假的命題（或未經(jīng)證明的真命題）作為推論的依據(jù)。

例2. 如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH 是平行四邊形。⑴求證：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角為 （變量）， AB=a， CD=b（a、b是定值），求截面EFGH面積的最大值。

錯(cuò)解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，又平面EFCD∩EFGH=EF，EFGH∩CDGH=GH，EFCD∩CDGH=CD，故EF∥GH∥CD，則CD∥平面EFGH。（誤把教材中的課后題“三個(gè)平面兩兩相交，則三條交線平行或交于一點(diǎn)。”當(dāng)作定理來(lái)用。）

四、循環(huán)論證

每個(gè)命題都是由論題、論據(jù)和論證構(gòu)成。論題真實(shí)性有待證明的命題；論據(jù)是證明論題真實(shí)性所依據(jù)的真命題。它必須滿足兩個(gè)條件：（1）論據(jù)必須真實(shí)；（2）論據(jù)的真實(shí)性不能依賴論題的真實(shí)性。而論證是論題和論據(jù)之間的聯(lián)系方式或推理形式。在推理或證明的過程中，如果違反論據(jù)規(guī)則的第（2）個(gè)條件，即論據(jù)的真實(shí)性依賴于要證的命題的真實(shí)性，這種邏輯上的錯(cuò)誤就稱為循環(huán)論證。

參考文獻(xiàn)：

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[2]張奠宙，過伯祥.《數(shù)學(xué)方法論稿》.上海：上海教育出版社，1996

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