利用單調性和微分中值定理證明不等式

唐曉芙

【摘要】本文用單調性和微分學中值定理對不等式給出了4幾種證明證明方法，明確如何用微分中值定理、函數單調性證明不等式。提高了思維多樣性和靈活性，從多方面分析并解決問題。

【關鍵詞】不等式 中值定理 單調性 駐點

證明： 。

證明方法一：（利用羅爾定理）令

顯然 在 上連續， 內可導，且有 ，

由羅爾定理可知

取 ，則有 ，

所以當 則有 即 ；

同理取 ，則有下列等式 ，

當 時，則有 ，即 ，即 ；

當 時， ，

綜上所述，當 時，有 恒成立。

證明方法二：（利用拉格朗日中值定理）設函數 ，

令 ，得駐點 ，

顯然當 時，有 ；

當 時，有 。

我們先考慮 ， 在 上連續， 內可導，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考慮 ， 在 上連續， 內可導，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

綜上所述，當 時，有 ，即 。

證明方法三：（利用柯西中值定理）取定函數 ， ， ，設 ，

顯然 ， 在 上連續， 內可導，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又設 ，顯然 ， 在 上連續， 內可導，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

綜上所述，當 時，有 。

證明方法四：（利用函數單調性判別法）設函數 ，駐點 ，顯然 在 上連續， 內可導，在 內顯然有 ，由函數單調性判別法可知， 在 上單調增加，即有 ；

同理 在 上連續， 內可導，在 內顯然有 ，由函數單調性判別法可知， 在 上單調減少，即有 ；又已知 ，

綜上所述，當 時，有 ，即 。