利用單調(diào)性和微分中值定理證明不等式

唐曉芙

【摘要】本文用單調(diào)性和微分學(xué)中值定理對(duì)不等式給出了4幾種證明證明方法，明確如何用微分中值定理、函數(shù)單調(diào)性證明不等式。提高了思維多樣性和靈活性，從多方面分析并解決問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】不等式 中值定理 單調(diào)性 駐點(diǎn)

證明： 。

證明方法一：（利用羅爾定理）令

顯然 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，且有 ，

由羅爾定理可知

取 ，則有 ，

所以當(dāng) 則有 即 ；

同理取 ，則有下列等式 ，

當(dāng) 時(shí)，則有 ，即 ，即 ；

當(dāng) 時(shí)， ，

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，有 恒成立。

證明方法二：（利用拉格朗日中值定理）設(shè)函數(shù) ，

令 ，得駐點(diǎn) ，

顯然當(dāng) 時(shí)，有 ；

當(dāng) 時(shí)，有 。

我們先考慮 ， 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考慮 ， 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，有 ，即 。

證明方法三：（利用柯西中值定理）取定函數(shù) ， ， ，設(shè) ，

顯然 ， 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又設(shè) ，顯然 ， 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，有 。

證明方法四：（利用函數(shù)單調(diào)性判別法）設(shè)函數(shù) ，駐點(diǎn) ，顯然 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，在 內(nèi)顯然有 ，由函數(shù)單調(diào)性判別法可知， 在 上單調(diào)增加，即有 ；

同理 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，在 內(nèi)顯然有 ，由函數(shù)單調(diào)性判別法可知， 在 上單調(diào)減少，即有 ；又已知 ，

綜上所述，當(dāng) 時(shí)，有 ，即 。