拉格朗日中值定理的證明及其應用

馬生勇

【摘要】拉格朗日中值定理是微積分中重要定理之一，其證明方法關鍵在于構造一個輔助函數，再應用羅爾中值定理推出拉格朗日中值定理的結論.本文從坐標旋轉、分析表達式、向量運算、區間套定理四個方面分析構造輔助函數的思路和方法，利用該輔助函數證明了拉格朗日中值定理，并以具體實例說明如何應用拉格朗日中值定理.

【關鍵詞】羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；輔助函數

1 引言

拉格朗日中值定理是微分學的重要定理之一，它的證明通常以羅爾中值定理作為預備定理，其證明方法關鍵在于構造一個輔助函數，而輔助函數應滿足羅爾中值定理的全部條件，證明的過程就是對輔助函數應用羅爾中值定理推出拉格朗日中值定理的結論.羅爾定理中 這個條件很特殊，它使羅爾定理的應用受到限制.如果把這個條件取消，但仍保留另外兩個條件，并且相應改變結論，即得微分學中十分重要的拉格朗日中值定理.本文從坐標旋轉、分析表達式、向量運算三種方法證明了拉格朗日中值定理，并從具體實例說明了如何應用拉格朗日中值定理.

2 拉格朗日中值定理證明

拉格朗日中值定理的證明過程就是對所構造的輔助函數（該輔助函數應滿足羅爾中值定理的全部條件）應用羅爾中值定理.由于構造輔助函數的思路不同，拉格朗日中值定理的證法有多種.首先我們給出羅爾中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：

羅爾中值定理 若函數 滿足以下條件：

（1）在 連續；

（2）在 可導；

（3） .

則至少存在一點 ，使 .

拉格朗日中值定理 若函數 滿足以下條件：

（1）在 連續；

（2）在 可導，

則在 內至少存在一點 ，使

.

2.1 利用坐標旋轉構造輔助函數

如果函數 在閉區間 上連續；在 內可導.

圖2.1

如圖2.1所示，由坐標旋轉圖形的不變形可知，只要把坐標軸旋轉到與直線 重合，在新坐標下圖形顯然滿足羅爾定理條件，通過羅爾定理即可得出結論.為此可引入旋轉坐標變換[2]

.

因為

，

所以有逆變換

.

記

.

取旋轉角 時， 在 上連續；在 內可導，由

，

可得

，

即 ，因此， 滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點 使 ，亦即

， .

2.2 利用分析表達式構造輔助函數

由拉格朗日中值定理結論可知，欲證 ，即要證 ，換言之即證 在區間 內有零點.據此利用羅爾定理可得拉格朗日中值定理.

證明 令 ，則 在區間 連續，在 內可導，且

，

即

.

故由羅爾定理知，至少存在一點 ，使 .

即

.

注意 這輔助函數所表示的曲線 是曲線 和直線 之差，而這直線通過原點且與曲線 在 上兩端點的連線平行，從而使得 滿足羅爾中值定理的條件.

2.3 利用向量運算構造輔助函數

引理2.1[3]在平面直角坐標系中，已知三角形ABC三個頂點的坐標分別為 ， ， ，則三角形ABC面積為 .

于是可以引用引理證明拉格朗日中值定理如下：

若 在 內連續，在 內可導，則 在 內連續，在 內可導，且 ，所以由羅爾中值定理知：在 內至少存在一點 使得 ，而

.

故

.

通過對拉格朗日中值定理的證明方法的分類總結，發現證明方法的確多種多樣.一般來說大多采用的是構造輔助函數的方法，我們從分析和幾何的角度加以分析總結，分析法構造輔助函數主要有原函數構造法；幾何法是利用圖形的特征進行分析，從而構造出需要的輔助函數，與分析法有異曲同工之妙，同時也可以認為是上面某些分析方法的幾何解釋.另外我們還總結了一些特殊方法，它們不需要構造輔助函數，仍可以得證，如區間套定理證明法.通過分類總結，有助于開闊我們的思路，對微分中值定理的認識也會更加深入.

3 拉格朗日中值定理的應用

拉格朗日中值定理在微積分學中是一個重要的理論基礎.它作為中值定理的核心，有著廣泛的應用，在很多題型中都起到了化繁為簡的作用.下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在四個方面的應用.

3.1 證明不等式

證明不等式的方法很多，但對于某些不等式，用初等解法不一定解得出來.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的應用，往往能夠化難為易.在應用中關鍵是取適當函數 ，利用中值公式 將所要證明的不等式與導函數 聯系起來，在根據 的某些性質證出所要求的不等式.比如描述函數的增量與自變量增量關系的不等式或者中間一項可以表示成函數增量形式等題型.

例 3.1 證明 對一切 都成立.

證明 設 ，取閉區間 .

因為 在 上滿足拉格朗日中值定理條件.

所以，至少存在一點 ，使得

.

即

. （3.1）

因為 ，即 ，又 .

所以

， （3.2）

又因為 ，所以由（3.1）﹑（3.2）知

，

即

.

3.2 函數單調性的判定

由拉格朗日中值定理得到下面的結論：設函數 上連續，在 內可導，則

（1）如果 ，則 上單調遞增.

（2）如果 ，則 上單調遞減.

下面我們具體的看一下它的應用.

例 3.2 證明 在 上單調增加.

證明 若令 ，

則只需證明 單調增加.

，

對函數 應用拉格朗日中值定理得到

，

得到

.

因此，由上面結論推出 單調增加，從而 在 上單調增加.

3.3 證明方程根的存在性

在拉格朗日中值定理的條件下，若加上條件 ，則可知在開區間 內至少存在一點 ，使得 這是拉格朗日中值定理的特殊情形，稱為羅爾中值定理，可用于證明方程的根的存在性.證明方程根的存在性時所給根的范圍就是區間 ，把所給方程設為函數 ，就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性.

例 3.5 證明 若方程 有正根 ，則方程 必有一個小于 的正根.

證明 設 = ， .

易證 在 上滿足拉格朗日中值定理條件，并且 .

所以，由羅爾中值定理可知，至少存在一點 ，使得 ，

即方程 ，有一個小于 的正根.

由上面的例題，我們見到了中值定理在求解初等數學題中的優越性.因此，將微積分的方法應用于初等數學中，將它作為教學的輔助手段是可取的.

3.4 證明等式

用拉格朗日中值定理證明等式也是拉格朗日中值定理應用中很重要的一項，在證明等時中起到了化繁為簡的作用，為以后的等式證明提供了方面.

例 3.7 設 在 上連續，在 內可導，且 ，試證 ， ，使得 .

證明 令 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在

，使得 ，由條件 ，可得

，

再令 ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理條件，故存在 ，使得

，綜合上述兩式可得 ，

即

.

用初等數學的方法解數學題，有時需要很高的技巧，并且很繁瑣，往往此時利用微積分方法會化繁為簡，化難為易.利用拉格朗日中值定理解題的關鍵是根據題意選取適當的函數，使它們滿足拉格朗日定理條件，然后運用定理結論或推論，經過適當的變形或運算等得出所要的結論.

結束語

著名的拉格朗日中值定理是微分學的基礎定理之一，在理論和應用上都有著及其重要的意義.該定理敘述簡單明了，并有明確的幾何意義，一般掌握問題不大，但要深刻認識定理的內容，特別是點的含義，就有較大難度.熟練掌握定理本質，在解題時會化繁為簡，化難為易.利用拉格朗日中值定理解題的關鍵是根據題意選取適當的函數，使它們滿足拉格朗日定理條件，然后運用定理結論或推論，經過適當的變形或運算等得出所要的結論.

參考文獻：

[1]劉士強.數學分析（上）[M].南寧：廣西民族出版社，2000.

[2]劉振航.關于拉格朗日中值定理的證明[J].天津商學院學報，2002，22（3）：35-36.

[3]張婭莉，汪斌.拉格朗日中值定理的證明和應用[J].信陽農業高等專科學校學報，2005，15（4）：88-90.