建構基于兒童的數學理解

《辭海》中對理解的解釋是：“理解是通過揭露事物間的聯系而認識新事物的過程。”理解也是教育目標分類中的一個重要學習指標，數學課程標準中對“理解”這一目標層次的要求是：對概念和規律（定理、公式、法則等）達到理性認識，不僅能夠說出概念和規律是什么，而且能夠知道它是怎么得出來的，它與其他概念和規律之間的聯系，有什么用途。所以，“理解”不是簡單的知識“記憶”“知道”“照本解釋”或者“照本運用”，而應該是學生在已有知識經驗的基礎上，通過思考發現知識間的內在聯系，并能以多種不同方式重新呈現，且在適當的情境中正確地應用，從而使認知結構得到擴展和提高的過程。

數學理解則是指學生在已有數學知識和經驗的基礎上，建立新知識的個人心理表征，建構新知識的個人心理意義，不斷完善和發展頭腦中的數學知識網絡，并能將納入知識網絡中的新知識靈活地加以提取和應用。本文試以“用字母表示數”的案例，來闡述筆者對基于兒童的數學理解的認識。

一、 了解兒童的認知發展水平，契合理解層次

皮亞杰將智慧的發展劃分為四個階段：感知運算階段、前運算階段、具體運算階段、形式運算階段。小學階段主要以具體運算階段和形式運算階段為主。

“用字母表示數”在四年級正式進入學生數學認知體系中。用字母表示數，需要理解用含有字母的式子表示數量、數量關系、運算結果、計算公式、數學規律等等。學生之前一直接觸的是用具體的實數表示數量關系，現在則要逐步用抽象的符號來進行描述和概括，他們開始接觸代數式、用方程解決實際問題，數學思維逐步走向抽象。這一內容是符合四年級學生的認知特點的。10歲左右的兒童，大腦前額皮層發育完善，玩的天性開始有所收斂，大腦的抑制功能加強，思維能力的發展處于轉折時期，抽象概括、分類、比較和推理能力開始形成，思維的敏捷性和靈活性以及做題的速度和準確性提高。這一階段，兒童逐步能夠不受事物內容的限制，通過假設等方式進行推理，形成完整的認知結構系統。

要讓兒童理解數學，首先要理解兒童，了解兒童的認知特點，才能做到科學育人。無論是教材所提供的學習內容，還是教師主動尋找適合孩子學習的學習材料，都要能夠遵循兒童不同的年齡特點，用更適合兒童理解的方式進行教學。

二、順應兒童已有的認知基礎，切入理解基點

在學習新的數學知識之前，學生已經具備了與所要學習的新知識相關的一些經驗和看法，這些已有的知識經驗不僅引導著學生對數學現象的觀察和解釋，還影響著學生對教師和教材提供的信息的理解。

比如：在四年級學習“用字母表示數”前，學生在學習三年級下冊83頁“長方形和正方形的面積”時，已經接觸到了長方形和正方形的面積公式S=a×b，S=a×a，在四年級上冊56頁“運算律”已經了解了加法交換律a+b=b+a，加法結合律a+b+c=a+（b+c），乘法交換律a×b=b×a，乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c），四年級下冊54頁“運算律”認識了乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c。這些用字母表示的規律或運算公式，分布在連續三個學期的三個單元里，也就是說，學生對“用字母表示數”的感知并不是一張白紙，只是沒有系統的認識，還未連成相應的知識結構，未能完整地掌握用字母表示數的內涵。基于兒童理解的數學教學，一定是從兒童的已有認知經驗出發，從學生的最近發展區里進入學習，讓學生不覺得知識的陌生，順應學習的發展，逐步趨于同化。

第一板塊設計：

教師提出學習任務：觀察四年級下冊教材第54頁上的（a+b）×c=a×b+b×c，這個用字母表達的規律表示什么意思？為什么要這樣表達？之前還有沒有這樣用字母來表達的數學公式？請你寫一寫，并舉一些具體的例子。

讓學生通過寫一寫已經了解的用字母表示的公式，舉一舉可以表示的具體算式，讓學生從抽象到具象以及從具象到抽象兩個方面來理解用字母表示數的內涵，感受體驗用字母來表達規律的簡便和概括性。從課堂效果分析，這一起點的設計，是基于兒童的數學基礎的，學生比較全面地理解了用字母表示數更簡潔、更概括，這里的字母可以表示任何非0的數，達到了預期的教學目標。

在數學教學中，不少教師往往會忽視學生已有的認知基礎，更不會去研究不同的學生已有的不同的基礎。在教學設計和實施中，他們把學生的起點預設為“零”，缺少挑戰性，缺少個性化，不同的學生難以得到不同的發展。因此，數學理解的基礎一定是建立在學生已有的學習基礎之上，教師可以通過前測等方式來了解學生的基礎。

三、設計具有思考價值的問題，豐富理解內涵

教師在教學設計中要圍繞數學理解的核心問題，開展數學活動，通過問題解決來建構對數學知識的理解，讓學生不斷發現問題、分析問題和解決問題，尊重學習規律，促進學生發展。

第二板塊設計：

“用字母表示數”在學生的認知中，一般會認為字母可以表示任何數。在第一板塊的學習中，學生還僅僅認識到用字母表示運算律和計算公式，這對于用字母表示數的理解來說還是淺層次的。因此，在第二板塊中我設計了兩個具有思考價值的問題，來推進學生更深地理解用字母表示數也表示兩個數量之間的關系，還表示一個結果。同時，進一步打破學生對字母表示任何數的思維局限，了解用字母表示的數是需要在一定的情境中進行確定的，是有一定的條件的。

問題一：先寫一寫下面的問題應該用什么式子表示，再想一想字母可能會表示什么數？

（1）一件上衣a元，一條褲子比上衣便宜12元。一條褲子（ ）元。（2）小亮有10張卡片，送給小紅b張，小亮還剩（ ）張。（3）小剛每天看課外書15頁，a天共看了（ ）頁。

問題二：出示兩個儲蓄罐，其中一個是空的，教師放進10個硬幣，顯示有10元。另一個儲蓄罐有錢，但不知多少，可以用字母來表示。提問：如果我要把兩個儲蓄罐里的錢放在一起，如何用算式來表達？結果用什么來表達？

在以上的學習活動中，圍繞數學理解的核心提出了兩個有一定思維深度的問題，學生在解決問題的過程經歷了一個順應、打破認知結構平衡、內化的理解過程。

理解10+x和（10+x）有什么不同，這對于兒童來說是高層次的數學思維活動，必須建立直觀清晰的數學情境活動，讓學生把抽象和具象結合在一起。因此，我采用儲蓄罐演示的方式，讓孩子清晰地看到10+x是表示兩個儲蓄罐的錢要加在一起，而（10+x）是表示一個儲蓄罐的錢，學生能清楚地感知到（10+x）表達的是一個結果，10+x才表示一個關系式。

第二板塊的學習中，還有一個頗有價值的問題，那就是“字母可以表示什么數”，是對未知數數值范圍的確定。在具體的問題中，學生突破字母可以表達任何數的理解局限，放到情境中來理性判斷與選擇字母所能表示的數。這是學生從低層次思維走向高層次思維的重要一步，也為后續解方程，特別是中學的方程解打下基礎。由此建立比較嚴密的數學思維，讓學生有更清晰的數學判斷與選擇，對“用字母表示數”有更深刻的內涵理解。

兩個板塊中都有一根基于兒童理解的邏輯主線。用字母表示規律、數量關系、運算結果，這是一條主線；另一條主線是讓學生感知用字母表示的數，可以是任何數，但也有可能是有取值范圍的，這需要根據情境進行分析與判斷。這兩根主線穿插在兩個板塊里面，有機地融合起來。

教學過程中，核心問題的確定，關鍵問題的厘清，有價值問題的提煉，都是基于兒童的數學理解基礎上進行分析、判斷、選擇的。其中的邏輯關系、層次關系需要在教學設計時予以關注。可知與未知，任意與有范圍，常量與變量，這一組組具有辯證意蘊的數學思想在學習中不斷被提及，不斷被滲透，不斷被同化，提升了學生的數學素養。

四、在“第一時間”建立認知，整體性助力兒童理解

學生的數學理解往往是螺旋上升，隨著學習的進程而不斷深化的。比如在小學階段學生以為數就是自然數、小數、分數，后來增加了一個負數，但隨著認知的深入，才認識到實數、虛數，有理數、無理數，整數、分數……這樣的數學學習推進，是符合兒童的認知特點的，但也帶來一個問題：學生會固化對某一個知識的整體認識，在后續學習中要打破認知的局限有一定的困難。因此，在小學階段的數學學習中，我們要根據學習內容，盡可能在“第一認知時間”里讓學生整體感知，然后再逐步深入理解。

用字母表示數，四年級是一節起始課，但用字母表示數在代數思想的領域中是非常重要的一節課，讓孩子整體感知一下代數思想是非常必要的。

第三板塊學習：

1.一本筆記本的單價是a元。你會填寫下表嗎？

2.

（1）小華家到學校的路程是（ ）米。

（2）小軍家到小麗家的路程是（ ）米。

（3）小華家到小麗家的路程是（ ）米。

這兩個內容，是書上的題目，我沒有定位于知識的理解內化，而是從學生建構整體認知的理念出發，進行了價值提升：第一題滲透“變與不變”的函數思想，讓學生感受單價不變，數量變化總價也在發生變化；第二題滲透方程思想。因為本節課教材只提到用含有字母的式子來表示算式，但其實含有字母的式子是方程的一個部分，是否能在第一認知時間里讓他們順著含有字母的式子來理解含有字母的等式呢？我在設計中根據小華家到學校的路程是800+x，提出了一個問題：“只要知道什么量，就能知道小軍家到學校的路程？”學生非常自然地說只要知道小華家到學校的具體路程，就能知道小軍家到學校的路程了。教師在800+x的基礎上變成了一個方程式800+x=1500（雖然沒有把“這就是方程”的概念告訴給學生，但他們應該在第一時間內就留下了深刻的印象）。學生從含有字母的式子轉變到含有字母的等式，非常自然，建構了相對完整的認知鏈。在小軍家到小麗家的路程是x+y的認識基礎上，學生提出x+y=1700，教師讓他們分析含有兩個未知數的等式時能不能得出結果，學生發現不行。但如果和第一個算式結合起來，倒是能算出另一個結果的，這里就滲透了初中的二元一次方程組的知識。這種滲透式的學習，給學生在第一時間的學習中留下印象，對兒童數學理解的整體性是有幫助的。

五、對單元進行整體重組設計，提升數學理解

基于兒童的數學理解，在教學時首先要改變的是教師對教材認識的觀念。如“用字母表示數”一課，我基于兒童的數學理解，對單元整體進行了調整與重組。第一課時，引導學生在第一時間認識用字母表示數，因此，我重點讓孩子們感受用字母表示數、表示數量關系、表示一個結果，尋找數的范圍，感知含有字母的等式是如何產生的等等。在整體理解和感知后，在第二課時再進入到學習書寫與簡寫的環節，也就是用字母表示數的技能訓練。第三課時再把數字帶入含有字母的式子，解決實際問題。課時數不變，但在設計上的張力更大，空間更寬，可以讓學生感知和理解的東西更豐富。

基于兒童的數學理解，必須了解兒童，了解兒童的認知特點、認知規律，了解他們前在的、潛在的認知基礎與方法。數學教學不能停留在片段性的零碎知識層面，也不能僅僅滿足教給一般的程序和方法，而要把教學內容并入數學思想的脈絡中，還原它的意義情境，讓學生在這個背景下理解、生成知識。這不但能幫助學生有效地構建各自系統的認知結構并隨時通暢地提取信息，也能促使各種數學知識融會貫通而使學生達到思考自如的狀態，真正實現基于兒童的數學理解。

（金松武，常州市西新橋小學，213000）

責任編輯：宣麗華