概念教學要“內外兼修”的探討

錢春

數學中的概念由表象和定義兩個維度組成，前者是概念的外在特性，是交流過程中的基本要素;而后者是概念的內在本質，是思維的重要屬性。學生對于概念的掌握必須要從這兩個方面入手，缺其一都沒有真正把握概念的本質要義。

一、觸摸表象和定義，感知概念

小學階段，學生的認知思維以直觀形象思維為主，因此在設計概念認知的教學中，教師會選擇直觀性較強的物質作為概念的原型，將概念所含有的各種屬性融合在實物中，便于學生對概念特征的體驗感知，從而形成直觀的感性體驗。

例如在教學“認識角”時，教師出示了各種含有“角”的實物，如課本、三角板、香煙盒等，讓學生通過實物指認“角”在哪里。在學生體認的基礎上，教師再次引導回歸自身生活，還有哪些事物含有“角”，學生從門框、黑板上指出了“角”的所在。

教師所呈現的生活實物凸顯了“角”的一般特征，學生也在觀察指認的過程中形成了“角”的感性體驗，從而在感性材料與“角”的表象及定義中形成了認知關聯。但在此時，學生對“角”的認知體驗仍舊停留在表象的初始級別，尚未形成抽象提煉的概括性認知。而之后的教學環節，應該從學生初步感知逐漸向豐盈表象、提煉表象、反思表象進步，直至形成定義認知。

二、揭示屬性和特征，體驗概念

概念的認知不能止步于表象層面，為了進一步理清概念的本質內涵，尤其是從直觀的表象層面脫穎而出，教師應該充分運用以上教學環節中已經形成的表象基礎，引導學生從不同的視角、不同的維度對概念的本質內涵、特性特征進行探尋和思考，促進學生對概念的體驗形成根本性的嬗變。

與上一環節中教師依據生活中的具體事物引導學生尋找“角”不同，在本環節中教師出示了各種不同的圖形，學生有了借助實物探尋“角”的體驗，在圖形中尋找已經不再是難事。當學生在不同的圖形中尋找到許多的“角”后，教師則順勢將各種圖形中不同類型的“角”從圖形中剝離開來，形成了獨立的“角”的圖形。接著，教師引導學生從“角”構成圖形入手，讓學生通過觀察形成“角”的各種名稱。

至此，學生經歷實物“角”、圖形找“角”、獨立找“角”的歷程，這樣的思維軌跡體現了層次的差異性：在實物和圖形中找“角”始終只處于“角”直觀認知層面，無法對“角”的真正內涵形成體驗認知，唯有在“角”的獨自呈現中，學生才真正從本質感知了“角”的價值和內涵，并在言語的表述中實現對“角”的本質屬性的闡釋。

三、修正和完善表象，定義概念

通過以上環節的教學，學生可能對角的認知尚滯留于原始的認知體驗，即認為角是尖尖的，它們都是正方形、四邊形的一部分，顯然這樣的認知離“角”的真正屬于還有很大的距離。之所以形成這樣的認知主要源于兩方面原因：一是不同事物中角的表象會呈現出不同的狀態，而角的定義卻是恒定的;二是表現自身呈現相對的獨立性，造成學生認知的偏差甚至是殘缺也就不足為奇。這就要求教師要善于從眾多類型的“角”的表象入手，提煉抽象出相關定義，給學生形成準確清晰的表象認知，從而促進學生對定義的認知進行準確辨析，取得更加完善的認知。

基于以上教學環節，教師從圖形中剝離出“角”，并讓學生通過對實物中“角”的觸摸，感知角的真實性，接著引導學生通過觀察指導角由一個頂點和兩條直線邊構成，然后教師引導學生借助直尺和鉛筆畫出“角”，促進內在的感性認知，并通過絨線、吸管等事物做出各種“角”。通過以上環節的實施，學生對角已經形成了較為深刻的完美認知，形成了清晰的表象體驗。

四、闡述和豐富定義，運用概念

各種概念認知的最終歸屬都要設置在運用環節中。而這種運用概念可以分為兩種形態：其一，由具體到抽象的自然過渡;其二，由抽象到具體的反哺回歸。一般情況下，則是運用概念去印證具體形象的感知材料，即以運用概念的本質特征去辨析、判斷具體感性材料的屬性特征。然而，此時出現的感知材料與前期教學使用的材料有著巨大的差別，則需要再次追溯到“具體到抽象”的思維路徑中來。由此可見，在教學實踐中運用具有較強感染因素的材料則更加有利于學生所學知識的內化。

例如在教學最后，教師出示了一道概念認知變式的題型：出示大小相同的兩個角，其中一個角的邊加長，讓學生辨別邊的大小。教師通過將長邊縮短、短邊延長的變化，引導學生觀察無論邊怎么變化，而其角始終不變，讓學生清晰地知道角的大小與兩條邊的長短無關，而與角張開的大小息息相關，從而在豐富對角度的認知后，再從角的有關變量和無關變量入手，真正將學生從原始的直觀表象“提領而頓”，形成更為理性的認知效果。

在這個過程中，教師以概念闡述了定義，并借機深化了定義認知，使學生對角的認知也就積累為豐富的認知體驗。

總之，概念的教學要做到表象與定義的兩者融合，才能促發學生認知結構、知識體系不斷完善，并在操作感知、言語表達的過程中促發理解的不斷深入。

（江蘇省高郵市第一實驗小學）