期權定價理論及其VBA實現過程

【摘要】期權定價理論是現代金融學中最為重要的理論之一，也是衍生金融工具定價中最復雜的.現代金融學與傳統金融學最主要的區別在于其研究由定性分析向定量分析的轉變。數理金融學即可認為是現代金融學定量分析分支中最具代表性的一門學科。定量分析必然離不開相應計算軟件的應用，我們使用VBA來分析金融學科中的數據計算問題，它可以將高性能的數值計算和數據圖表可視化集成在一起，并提供了大量的函數，尤其是其與office軟件的完美結合，近年來得到了越來越廣泛的應用，也為金金融定量分析提供了強有力的工具。

【關鍵詞】看漲期權 看跌期權 B-S公式 VBA

一、B-S-M期權定價模型

本部分主要介紹B-S-M公式，并對其進行推導擴展使之適用于存在連續紅利的情況。默頓擴展方法將不存在紅利和每年有q%連續紅利收益的情況作比較。在風險中性的世界里，這兩種股票應該具有相同的總收益，即紅利和資本增長。如果有紅利收益的股票在時間段T內從初始價格S增長到，那么對于無紅利股票，就應該從S增長到，也可以說，從增長到。因此，的概率分布可以適用于以下兩種情況：（a）初試價格為S，并有q%的連續紅利收益（b）初試價格為，但沒有紅利收益，因此，如果一個歐式期權的標的股票以連續收益率q來支付紅利，那么在為它定價時，可以用代替原來的初試值S，然后將該股票看作不支付紅利的股票。于是，對一個支付紅利的歐式看漲期權來說，其中q是連續紅利收益率，N（d）是累積的標準正態分布函數為了便于解釋B-S-M公式各項內容的意義，可以聯想到看漲期權的復制組合形式，c=hS-B。公式第一項是乘數S，等于。第二項則是執行價格的現值與的乘積。因此，可以看成是在風險中性世界里看漲期權被執行的概率。利用期權平價關系，看跌期權在支付連續紅利情況下新的布萊克-舒爾斯定價公式，如果沒有公式前的負號以及累積正態分布函數內的負號上，則該式與看漲期權定價公式完全一樣。

二、期權定價過程的實現

以及B-S定價所需的計算。最初計算時，常用多項式來近似累積正態分布概率。現在，可以用Excel的NORMSDIST函數直接得到。得出和后，就可以計算相應的和了，它們都是計算過程的中間值。也可以用用戶定義函數BSOptionValue計算布萊克-舒爾斯期權價格。從前面的討論中可知，對沖比率是exp（-qT）與的乘積。期權在風險中性世界里被執行的概率為。對于相同標的股票的看跌期權，看漲期權定價公式的第一項是，由于正態分布的對稱性，看跌期權定價公式的第一項則為。同樣，用戶定義函數BSOptionValue計算看跌期權價格。這個函數有個重要的參數iopt，取值為1代表看漲期權，取-1則代表看跌期權，這樣就可以用一個通用函數來代替兩個分開的函數。可以看出，看漲期權和看跌期權定價的代數表達式非常相似，僅在一些符號上有差異。為了研究期權價格的影響因素，首先必須弄清楚期權與標的股票之間的因果關系。你將發現期權價格對標的股票的波動率變化非常敏感。這種敏感性分析用一個或多個模擬運算表很容易實現。

三、計算期權的‘希臘參數

B-S模型的輸入參數有股票現值S，利率r，期權有效期，波動率，及其他一些因素。研究輸入變量變化對期權價值的影響時，一種辦法是計算期權的所謂“希臘”參數，或對沖參數。經常計算的對沖參數是一些一階偏導值：delta（描述股價變化的影響），rho（描述利率變化的影響），theta，vega；也經常計算股價的二階偏導值gamma。除了theta外，所有的對沖參數都由公式直接給出。B-S偏微分方程將thera與期權價格，delta值，gamma值聯系起來。gamma值等于股價變化時delta值的變化率（也就是看漲期權價格對股價的二階偏導）。它的計算公式對看漲期權和看跌期權都是一樣的。如果gamma值較小，delta的變化量也就非常小。對于看漲期權和看跌期權而言，theta都是負值。它度量期權價格隨時間流失（即期權有效期減少）的變化率。當期權有效期減小時，期權價格也會減小。另一方面，隨著波動率的增加，期權的價格也會隨之增加。Vega用來度量期權價格相對于波動率的變化率，它是一個正值。而且，計算vega的公式對于看漲期權和看跌期權來說是一樣的。

投資銀行常常構造對沖組合來抵消他們面臨的期權風險。他們感興趣的是，在股票價值以及波動率等因素變化時，整個頭寸價值將如何變化。期權相對于股價以及其他因素變化的敏感度（也就是‘希臘參數）常用來來構造對沖組合，具體情況將在下一部分演示。

四、對沖組合

計算對沖參數是構造對沖組合必不可少的一步。利用前面用于計算‘希臘參數的看漲期權，我們來構造兩個零投資對沖組合。所謂零投資組合，是指相對于股價的變化，組合價值的變化非常微小。第一個是delta對沖組合，也就是說，它可以對沖掉股票價格的微小變化（被稱為delta風險）。另一個是delta-gamma對沖組合，它用于對沖股票價格的較大變化，此時gamma值會發生改變（被稱為gamma風險）。將看漲期權定價公式（c=hS-B）寫成0=hS-B-c的形式，由此可以得到一個零投資組合，它包括一些借入資金，用來購買一定數量的股票并出售一份看漲期權。由于這個組合是零投資組合，因此在每一期股價S發生微小變化時，這種數量關系必須保持平衡。在delta中性的情況下，購買的股票數量必須等于組合中看漲期權的delta值。構造delta中性組合的目的在于用期權價值的變化來抵消股票價值的變化。為了構造一個更好的對沖投資組合以面對更大的未來股價變化，可以在組合中加入另一種看漲期權，從而構造出一個delta-gamma組合以滿足delta中性，形式為：其中和為兩種看漲期權的價值。

五、結論

期權的delta值是期權價格相對于股價的變化率。通過delta值，可以構造短期的delta中性投資組合。但由于組合的delta值會隨時間變化，因此組合中標的股票的頭寸需要不斷調整以達到新的平衡。期權價格相對于其他因素的敏感度（如波動率，有效期和收益率等）同樣可以計算得到。它們統稱為‘希臘參數，它們對構建對沖組合很重要。

參考文獻

[1]John C.Hull.期權期貨及其他衍生產品（第八版）.

[2]朱順泉.金融財務建模與計算—基于VBA與MATLAB.

[3]Steven E.Shreve.金融隨機分析.

作者簡介：李大鵬（1988-），男，河南許昌人，西南財經大學經濟數學學院，研究方向：金融資產定價。