讓學生的數學思維“串”起來

周秀蘭

當提到數學習題教學，很多人馬上會想到“題海戰術”，無法把它和素質教學相聯系，其實這是一種片面的理解. 如果我們能把對教學活動的主體的認識從教師的教轉到學生的學上來，自然就會把學生課外獨立的解題活動看作是數學習題教學的一個重要形式，習題教學也就從“題海戰術”轉化為能力培養.

在數學習題教學中，要采取各種有力措施，發揮學生的學習主動性，引導學生通過積極思考，學會獨立地解答數學習題，充分發揮分析問題和解決問題的能力，這樣才能改變以往的“題海戰術”.

一、教給學生分析問題的方法

在批改學生作業的時候，老師會經常嘆息學生不會做題，講過的也不會解. 其實主要的原因還是缺乏分析問題和處理問題的方法. 如果學生只學習了知識而未學會相應的方法，就不能在知識和問題之間架起橋梁，如學生經常出現的不加分析就亂寫而出錯，就是由于這個原因. 因此數學教師要善于發掘教材中的方法因素，培養學生獨立的解題能力才有了堅實的基礎.

例：蘇科版《數學》八年級上冊155頁提到，一次函數y = kx + b的圖像是由正比例函數y = kx的圖像沿y軸向上（b > 0）或向下（b < 0）平移|b|個單位長度得到的一條直線.

對于一次函數中的幾何變換問題，我設計了下面幾個問題：

（1）將直線l1向上平移2個單位后，直線的解析式變為________.

（2）將直線l1向左平移3個單位后，求平移后直線的解析式.

（3）求直線l1關于y軸對稱的直線l3的解析式.

（4）將直線l1繞點A順時針旋轉90°，求旋轉后的直線l4的解析式.

（5）如圖2，若將直線AB沿直線AM折疊，B將落在x軸上的B′處，求直線AM的解析式.

通過這組題，讓學生了解到一次函數中的幾何變換問題. 幾何變換包括平移、翻折、旋轉. 直線的幾何變換本質是點的變換，找準關鍵點變換以后的對應點，是解決此類問題的關鍵.

通過對數學問題的一題多變，提供適當的知識鋪墊，向學生展示知識的發生、形成及發展的過程，能讓學生體會到知識是如何從已有知識中逐漸演變或發展而來的，從而理解知識的來龍去脈，形成一個知識網絡.

二、培養學生創新思維的素質

吉爾福特：“正是在發散思維中，我們看到了創造性思維最明顯的標志. ”可見，發散思維是創造性思維的重要組成部分. 在全面提高學生素質的今天，發散思維的培養尤為重要.

中學生數學學習最薄弱的是數學的反思，正處于思維發展階段的中學生不可能一次地直接把握數學活動的本質，必須經過多次的反復思考、深入研究，即堅持反思性數學學習，才可能洞察、理解數學的本質特征.

（1）圖中共有多少個三角形？請把它表示出來；

（2）圖中有哪幾對相似三角形？請把它們表示出來，并說明理由.

解答過程（略）.

如果把上題做如下的變式：如圖5，△ABC與△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，點E在線段BC上，∠BAC=∠EDF = 90°，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與線段CA相交于點Q.圖中的△BPE∽△CEQ，理由（略）.若連接PQ，當點E為BC的中點時，△BPE∽△EPQ.

在教學中，我把這兩道題放在了一起，讓學生分析共同點，在我引導下，學生又歸納出在相似三角形中這樣的基本圖形（如圖6），如圖6，在△ABC中，D是BC上一點，點E，F分別在AB，AC上.若∠B = ∠C = ∠EDF = α，則△BDE∽△CFD. 當點D為BC中點時，則△BDE∽△CFD∽△DFE.

這對學生以后的解題會有很大的幫助.

試題改編、變式訓練是提高數學課堂教學實效性的一個有效策略.教師要潛心研讀教材，立足課本中的例題、習題，進行變式、引申、重組精心設計，讓學生真正體會到數學的真諦.

三、訓練學生發散思維的能力

我們在習題教學中，不能滿足于一種學習方法，必須根據學生好強的心理，鼓勵學生打開思路，以此來訓練學生的求異思維. 這對學生學會靈活的學習方法，培養學生靈活的思維品質，發展學生的智力，提高學生的學習效率，具有極其重要的作用. 在學生的思維過程中，引導學生全面分析各種學習方法的利弊、優劣關系. 這不僅是對學習方法的認可，更重要的是開拓學生的思維空間，拓寬學生的思維視野，學生的視野廣闊了，想象豐富了，理念也新穎了.

例如：如圖7，已知⊙O中，弦AB垂直于直徑CD，垂足為P，AB = 6，CP = 1，則⊙O的半徑為 .

方法一：如圖8，連接AO，運用垂徑定理，得出AP = BP = 3，設⊙O的半徑為R，運用勾股定理，列出方程：R2 = 32 + （R - 1）2，從而求出R.

方法二：根據相交弦定理，可得AP·BP = CP·DP，可先求出DP，從而求出R.

方法三：如圖9，連接AC，AD，根據CD是⊙O的直徑，得出∠CAD = 90°，再根據弦AB垂直于直徑CD，用相似來解決.

方法四：在圖9中，根據射影定理，可得AP2 = CP·DP，可先求出DP，從而求出R.

通過一題多解，既能促使學生溝通知識點間的聯系，又培養了學生的思維能力，同時也讓學生通過對比、小結，得出自己的體會，充分發掘自身的潛能，從而提高自己的解題能力. 這樣，不僅引導學生多方法、多視角思考問題和發現問題，形成良好的思維品質，而且使學生感受到成功的喜悅和增強自信心，也極大地激發了學生學習數學的積極性和濃厚的興趣，從而在很大程度上培養了學生思維的廣闊性.

總之，在習題教學中，不在于一節課講了幾道題，而在于學生的思維得到了多少發展. 老師在教學時力求促使學生參與研究性學習活動：其一，通過自身活動所得到的知識與能力比起旁人硬塞給他的，理解要更透徹，掌握得更靈活，使用也更得心應手，還可以保持較長久的記憶；其二，發現是一種樂趣，因而通過“再創造”來進行學習，這就更能引起學生的興趣，學生的學習具有更大的內驅力. 關注“數學本質”，就要讓學生“數學地思考問題”，具體地說，就是讓學生學習思考和解決問題的數學觀點和思想方法，積累數學知識和活動經驗，這些都是學生終身學習的寶貴財富.