爬上巨人的肩膀

楊勝群

牛頓有句名言：“我之所以能取得這微不足道的成績，是因為我站在巨人的肩膀上.”作為一名高中數學教師，我認為理解教材是上好課的第一步.我省普通高級中學所選用的數學教材為人教A版，這套教材凝聚了諸多專家、學者和一線名師的心血和期望，蘊含了他們對高中數學教育、教學的理解和認知.如果把這些專家、學者和一線名師比作巨人的話，我希望我們能爬上巨人的肩膀，能從他們的立場去分析教材，理解教材.

最近在校內上了一堂公開課，教學內容為必修2“3.3.3點到直線的距離”和“3.3.4兩條平行直線間的距離”（后面均簡稱為“距離”），我以這節課為例談談我對理解教材的認識.

1. 統觀全局——理解教材的重點設計

每一節數學課都有教學重點，重點有重點的地位.對教材重點的理解不能只看眼前，而應瞻前顧后，站在整個知識脈絡的立場去理解.

角、距離、面積是平面幾何中的三個主要量度，兩點之間的距離和點到直線的距離又是平面幾何中最重要的兩個距離，其他的距離問題均可以轉化成點點距離或點線距離，用坐標法研究幾何問題必須有求點點距離和點線距離的方法.所以“距離”這節課教材的重點定位在點到直線的距離，而兩條平行直線間的距離只用例7說明.

教材的設計告訴我們：只有把握了整個知識脈絡，才能把握住一節課的重點.

2. 瞻前顧后——理解教材的難點設計

每一節數學課都有教學難點，難點有難點的價值.

“距離”這節課教材的難點設計在點到直線距離公式的推導，推導過程幾乎占了該節全部內容的一半篇幅.投入如此多的時間和精力，要理解這些投入的價值需要前后聯系去看.解析幾何的核心思想是用代數運算解決幾何問題.在解析幾何中，對于一些公式或者結論的推理、證明需要用符號語言去表示具有普遍性的量，用符號進行運算成為一項經常性的工作，尤其是在后面“圓錐曲線”的學習中，將大量使用符號運算，運算能力將直接影響學生對解析幾何的學習.符號運算過去學生接觸得不多，學生需要了解符號運算，增強自己的符號運算能力.點到直線的距離公式是學生在這一章的教學設計中遇到的第一個有一定運算量，原理相對比較簡單而又必須掌握的公式，以它作為載體再合適不過.事實上，教材在“3.3.2兩點間的距離”這節課設計了例4：證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩對角線的平方和. 這個例題既是對兩點間距離公式的運用，也是對運用解析法進行證明的初步探索.

由此可見，難點的價值在于培養學生的數學能力，教學中能否順利突破難點將對學生的后續學習產生深遠影響.

3. 珠聯璧合——理解教材的例題設計

數學課堂離不開例題，例題設計的水平直接影響教學目標的達成度.好的例題能與教學目標交相輝映，珠聯璧合；不恰當的例題則可能喧賓奪主，敗事有余.

在實際教學中，由于各學校學生的水平有所不同，很多教師會改編或改選例題，但有一個前提，我們必須能理解教材的例題設計.以下是“距離”這節課的三個例題.

例5這個例題解題很簡單，但從學生的認知心理來看，從接觸一個新知識到掌握這個知識是一個循序漸進的過程，不可能一蹴而就，需要一定的過渡和銜接，例5這種基礎性的設計能讓學生在應用知識的過程中進一步掌握知識，增強學習信心，是對學生學習心理的健康促進.另外，例5還有它不簡單的一面，該題還包含了特殊情況——特殊解的思想.

例6所蘊含的數學知識比較豐富，可以分為三個方面：一是公式在實踐中的進一步應用；二是面積這個量度可以用點點距離和點線距離來解決，體現了轉化思想；三是解法的優化選擇.如圖1所示，教材的解答取AB為底邊作高線h，而不是以符合正常視覺習慣的BC邊為底邊，其實是對數據的一種優化處理，因為直線AB的方程最簡單，相對計算量最小.

兩條平行直線間的距離只用例7來說明，而不再詳細推理兩條平行直線間的距離公式，這種改變是新課程改革中數學教學理念革新的具體體現.我們的教學應更關注研究事物的通性，解決問題的通法，而不要把過多的精力放在針對性極強的方式、方法上.我們培養的是學生的自主探究能力，讓他們學會用已有的工具去解決新的問題，而不是每遇到一個新問題就向學生派送一種新工具.

不難發現，這三個例題緊扣教學目標，圍繞點到直線的距離層層遞進：一為基礎應用，二為綜合應用，三為創新應用. 既鞏固了新知，又培養了學生的探究能力，同時還滲透了數學思想，與教學目標珠聯璧合.

4. 水到渠成——理解教材的探究設計

每一位教師都知道“授之以魚，不若授之以漁”的道理，當代課堂，“漁”是主旋律.“距離”這節課中如果說“魚”是點到直線的距離公式，“漁”則是公式的探究過程.“距離”這節課教材有兩個探究設計，一是點到直線的距離公式，二是兩條平行線間的距離公式.點到直線的距離公式是師生共同完成探究；兩條平行線間的距離公式則采用教師引導，學生獨立完成.

教材對點到直線的距離公式的探究摘記如下：

5. 拋磚引玉——理解教材的問題設計

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.因為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.”新課程改革一個重要的標志就是“問題教學法”的普及，問題教學法就是教材的知識點以問題的形式呈現在學生的面前，讓學生在尋求、探索、解決問題的思維活動中，掌握知識、發展智力、培養技能，進而培養學生自己發現問題、解決問題的能力.這就要求問題設計必須有針對性、啟發性、引領性.

在“距離”這節課教材共設計了8個問題，這里選取教材在探究兩條平行線間的距離公式中設計的3個問題：

（1）設直線l1∥l2，如何求l1與l2間的距離？

（2）能否將平行直線間的距離轉化為點到直線的距離？

（3）如何取點，可使計算簡單？

我們不難發現，問題（1）明確了學生的思考目標，問題（2）突破了學生的思考難點，問題（3）點出了學生的思維盲點.如此到位的問題設計能調動學生的積極性，引領學生的思考，使學生的學習成為感受、理解知識產生和發展的過程，把學習知識的過程變成了學生自主探究的“再發現”“再創造”的過程.教學中教師拋出一塊“磚”，引出學生片片“玉”.

我在這里如此推崇教材，并不是要搞權威崇拜，畢竟在教學領域沒有最好，只有更好.隨著時代的發展，教學的理念、方法、技術總是不斷地在前進，但前進的基礎是我們能充分吸收前人的知識和經驗，只有爬上巨人的肩膀，才能站在巨人肩膀上.所以理解教材是我們能上出有特色、有深度，高效、優質的數學課的第一步.

【參考文獻】

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[4]劉智強.讀懂現行教材的三個著力點[J].中學數學教學參考：上旬，2013（8）.