MATLAB在線性代數課程中的應用

歐陽異能 楊婷

【摘要】 結合線性代數課程特點，引入計算軟件MATLAB輔助教學，探討MATLAB在線性代數中的矩陣運算、行列式計算、向量組的線性相關性、線性方程組求解以及特征值和特征向量等若干問題方面的應用，以期提高教學質量，改進教學效果.

【關鍵詞】 矩陣；線性方程組；特征值；MATLAB

線性代數課程是高等學校的重要數學基礎課，是用數學知識解決實際問題的一個強有力的工具，廣泛地應用于信號處理、系統控制、電子通信等學科領域. 線性代數課程除了培養學生的基本運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力外，還應注重培養學生的數學建模能力與數值計算能力，使學生學會用數學方法解決實際問題，并能利用計算機進行一定的科學計算.

目前傳統的線性代數教材仍然是以理論為主導，偏重理論體系的系統性、完整性，過多強調證明和推導，卻忽視了概念、原理和模型的實際背景，缺乏解決實際問題的訓練. 再加上課程本身所固有的抽象性和計算的繁瑣性，學習興趣不高，針對線性代數課程的這些特點，必須對現有的教學模式進行改革. 利用計算機軟件輔助教學，既能提高教學效率，減輕學生計算負擔，促進線性代數教學理論走向應用，又能鍛煉和培養學生的數值計算能力，使得學生逐漸喜歡線性代數課程. 本文主要通過實例介紹MATLAB在線性代數教學中的應用.

1. 矩陣的基本運算

（1）矩陣的初等變換

在線性代數中，矩陣的初等變換是最基本也是最重要的一種運算，求矩陣的逆、矩陣的秩、判斷向量組的線性相關性、解線性方程組等問題都離不開初等變換，而矩陣的初等變換相對比較繁瑣，故教學過程中老師會省略很多步驟，這樣不利于學生的學習，引入MATLAB可以方便解決此類問題.

初等變換包括行變換和列變換，下面重點介紹MATLAB在初等行變換中的命令，列變換命令類似. （I）交換矩陣A第i行和第j行，A（[j，i]，：）=A（[i，j]，：）；（II）矩陣A第i行乘以k倍，A（i，：）=k*A（i，：）；（III）將矩陣A第i行的k倍加到第j行上去，A（j，：）=k*A（i，：）+A（j，：） .

例1 設A = 0 -2 13 0 -2-2 3 0，用初等變換求A-1.

解 將（A，E）通過初等行變換化成（E，A-1），求得逆矩陣A-1. MATLAB程序和運行結果：

>> A=[0 -2 1；3 0 -2；-2 3 0]；

>> B=[A，eye（3）]；

>>B（2，：）=1*B（3，：）+B（2，：）； B（3，：）=2*B（2，：）+B（3，：）； B（3，：）=4*B（1，：）+B（3，：）；

>>B（1，：）=2*B（3，：）+B（1，：）； B（2，：）=（-3）*B（3，：）+B（2，：）； B（2，：）=2*B（1，：）+B（2，：）；

>> B（[1，2]，：）=B（[2，1]，：）； B（[3，2]，：）=B（[2，3]，：）

執行后，輸出結果為：

B = 1 0 0 6 3 4

0 1 0 4 2 3

0 0 1 9 4 6

即求得A-1 = 6 3 44 2 39 4 6

（2）矩陣的其他典型計算

矩陣A的典型計算還包括：矩陣的轉置A′；方陣行列式det（A）；矩陣逆inv（A）；矩陣的秩rank（A）；矩陣的行最簡型rref（A）. 例如例題1中的矩陣A，MATLAB命令det（A）、inv（A）分別得到運行結果是1和3.

2. 行列式與方程組求解

根據克拉默法則，若線性方程組系數行列式D ≠ 0，則方程組有唯一解. 當線性方程組為AX = B，則用矩陣左除X=A/B，即X = A-1B；當線性方程組為XA = B，則用矩陣右除X=B/A，即X = BA-1.

例2 當a取何值時，線性方程組

（1 - a）x1 - 2x2 + 4x3 = 12x1 + （3 - a）x2 + x3 = 4x1 + x2 + （1 - a）x3 = 2有唯一解？

解 當系數行列式不等于零時，方程組有唯一解. 因此，先求解a使得系數行列式等于零. MATLAB計算程序和運行結果：

syms a

format rat

>>A=[1-a，-2，4；2，3-a，1；1，1，1-a]； b=[1，4，2]'； >>D=det（A）；

>>a0=solve（D）' %系數行列式等于零的根

>>X=A＼b %利用左除求出方程組的符號解

>>X=subs（X，a，-1）' %特別的當時，方程組的根

執行后，輸出結果為：

a0 =

[ 0， 2， 3]

X =

（- a^2 + 4*a + 2）/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（2*a - 1）^2/（a*（a^2 - 5*a + 6））

-（（2*a - 1）*（a - 1））/（a*（a^2 - 5*a + 6））

X =

1/4 3/4 1/2

3. 向量組的線性相關性及方程組的通解

向量組的線性相關性的判斷，需先將列向量矩陣化成行階梯形，非零行非零首元所在列一定線性無關，MATLAB命令[R， s]=rref（A）可以快速完成行最簡形計算， 其中R為A的行最簡形矩陣；s是一個行向量，它的元素由R的非零行非零首元所在列號構成. 求方程組通解，除了用行最簡形的方法，還可以用null（A， 'r'）求齊次線性方程組Ax = 0的基礎解系和x0 = A＼b求非齊次線性方程組Ax = b的一個特解x0.

例3 設矩陣A = 1 2 1 -22 3 0 -11 -1 -5 7，求矩陣A的列向量組的一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示.

解 MATLAB命令窗口中輸入：

>>A=[1，2，1，-2；2，3，0，-1；1，-1，-5，7]；

>> [R，s]=rref（A）

執行后，輸出結果為：

R =

1 0 -3 4

0 1 2 -3

0 0 0 0

s = 1 2

記A = （a1，a2，a3，a4），由運行結果可知，列向量組的極大無關組為a1，a2，并且a3 = -3a1 + 2a2，a4 = 4a1 - 3a2.

解 根據線性方程組解結構，先求對應齊次方程通解，再求特解x0，輸入MATLAB命令：

>>A=[1 -1 -1 1；1 -1 1 -3；1 -1 -2 3]； b=[0 1 -0.5]'；

>>null（A， 'r'）

>>x0=A＼b

執行后，輸出結果為：

ans =

1 1

1 0

0 2

0 1

x0 = [ 0 -1/4 0 -1/4]

即所求通解為x = k11100 + k21021 + 0-1/40-1/4，k1，k2∈R

4. 特征值和特征向量

求解方陣的特征值和特征向量時，很多同學解不出特征值，顯然影響求解和理解特征向量. 應用MATLAB的命令[V， D]=eig（A）可以快速求解特征值特征向量，其中矩陣D為A的特征值所構成的對角陣，V的列向量為A的特征向量，與D中特征值一一對應. 從而可以節省更多時間來加深理解特征值和特征向量. 當矩陣A為對稱陣時，還可用MATLAB命令[V， D]=schur（A）求特征值與特征向量.

例5 求矩陣A = 4 6 0-3 -5 0-3 -6 1的特征值和特征向量.

解 MATLAB命令窗口中輸入：

>>A=[4 6 0；-3 -5 0；-3 -6 1]；

>> [V， D]=eig（A）

執行后，輸出結果為：

V =

0 0.5774 -0.8944

0 -0.5774 0.4472

1.0000 -0.5774 0

D =

1 0 0

0 -2 0

0 0 1

上面的輸出結果可以清楚地看出，特征值與特征向量是相對應的，而這一點在課堂學習中很容易被忽略.

MATLAB作為一種直觀高效的計算軟件，為線性代數教學提供了很好的平臺，它的最大優點是數值計算功能強大，且易學易懂，運用MATLAB輔助教學，可以省去繁瑣而易錯的手工計算過程，更有利于在教學中突出重點，有效提高教學質量和效率. 如何在線性代數教學中應用MATLAB軟件，而不改變線性代數整個理論體系，需要對現有的線性代數課程的教學體系、教學內容和教學方式進行深刻的改革，讓MATLAB為線性代數教學和學生學習效率服務，既發揮MATLAB的軟件優勢，又凸顯線性代數理論的主體地位.

【參考文獻】

[1]同濟大學應用數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]陳懷琛，龔杰明.線性代數實踐及MATLAB入門[M].2 版.北京：電子工業出版社，2009.

[3]李紹剛，段復建等.線性代數中MATLAB實驗教學的探索與實踐[J].長春大學學報，2010，vol.20，No.6.