數(shù)論整除規(guī)律的擴(kuò)展

李寶林

【摘要】 本文為了證明 “一個(gè)數(shù)后n位能被2n整除，則這個(gè)數(shù)能被2n整除”及其逆命題，先從n = 4時(shí)入手，將數(shù)除以2 得到的商根據(jù)n = 1，2，3成立的情況下討論，得到了n = 4時(shí)成立，并用類似的方法推廣到一般項(xiàng). 為了證明“若有一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被2n整除，則它的后n位能被2n整除”這個(gè)命題，先從n = 2入手用反證法證明了其成立，然后用類似的方法證明了n = 3時(shí)的情況并推廣到一般項(xiàng). 從而使原有的整除規(guī)律其中幾條推廣到了一般項(xiàng).

【關(guān)鍵詞】 整除；整除規(guī)律；反證法；擴(kuò)展

整除規(guī)律第二條：若一個(gè)數(shù)尾數(shù)是偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2整除；整除規(guī)律第四條：若一個(gè)數(shù)最后兩位能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除；整除規(guī)律第八條：若一個(gè)數(shù)后三位能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除. 我們有理由猜想是否一個(gè)數(shù)后四位能被16整除，這個(gè)數(shù)就能被16整除……一個(gè)數(shù)后n位能被2n整除，則這個(gè)數(shù)能被2n 整除. 再有，是否一個(gè)數(shù)能被2n整除 就能得到這個(gè)數(shù)后n位能被2n整除.

證明：

（一）若有一個(gè)數(shù)它的后n位能被2n整除，則這個(gè)數(shù)能被2n整除.

先證明n = 4的情況：若一個(gè)數(shù)的后4位能被16整除，則這個(gè)數(shù)能被16整除.

證明：設(shè)一個(gè)數(shù)…wxyz（“…”表示wxyz前面的數(shù)，wxyz是這個(gè)數(shù)的后四位）.因?yàn)閣xyz Mod16 = 0，則至少z是偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)至少能被2整除. 將這個(gè)數(shù)除2時(shí)除到倒數(shù)第5位時(shí)有以下兩種情況：

（1）若第5位是奇數(shù)，則余下所得的數(shù)就和1wxyz除2所得的數(shù)相同. 則又有兩種情況：

同理還可以連續(xù)除以3個(gè)2，在這種情況下猜想成立.

（2）若這個(gè)數(shù)的倒數(shù)第5數(shù)位是偶數(shù)，則除后4位時(shí)就不受倒數(shù)第5位的影響. 整除的結(jié)果和后4位■所得的效果相同. 對(duì)所得的數(shù)繼續(xù)除2，出現(xiàn)的現(xiàn)象就和前面所討論的一樣了，所以還能連續(xù)整除3個(gè)2.

綜上所述，若一個(gè)數(shù)的后4位能被16整除，則這個(gè)數(shù)能被16整除成立.

同理可證：若一個(gè)數(shù)的后5位能被32整除，則這個(gè)數(shù)能被32整除.

推廣到一般式：若有一個(gè)數(shù)它的后n位能被2n整除，則這個(gè)數(shù)能被2n整除.

證明同上述，先將這個(gè)數(shù)除2，根據(jù)“它的后n位能被2n整除”這一條件可以推導(dǎo)除得的新數(shù)還能被2整除……一直到除完n個(gè)2為止.

（二）證明其逆命題：若有一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)能被2n整除，則它的后n位能被2n整除.

先證明n = 2的情況：若有一個(gè)數(shù)，它能被4整除，則它的后2位能被4整除.

類似可證明一般式：若有一個(gè)數(shù)能被2n整除，則這個(gè)數(shù)的后n位能被2n整除.