“數學分析”第一次課的教學探討

楊鴻雁

“數學分析”課程作為高等學校數學與應用數學、信息與計算科學及統計學等專業最重要的基礎課程之一，是多年來教師教學非常辛苦，但學生學習效果卻較差的一門課程. 教師如何教，學生怎么學，始終是擺在師生面前的一個難題. 想要解決這一難題，需要從數學分析的第一堂課做起.

柏拉圖說“良好的開端是成功的一半”. 一出好戲，要有好的序幕；一部樂章，要演奏好序曲. 本文，我們介紹關于如何上好“數學分析”第一次課的教學探討，為“數學分析”這門課程的教與學打下堅實的基礎，奠定良好的開端.

一、幫助大學生樹立信心

數學是一門較難的學科，同時也是學生學習效果較差的學科，究其原因，是因為數學是抽象的，很多知識在生活中沒有實例，尤其是到了大學，維度由高中的二維、三維拓展到了n維，更是超出了很多人的認知范圍，也正是這個原因，東北師大的史寧中教授說過，數學是存在于現實和人的空間想象中的學科，那么想要學好數學，首先就需要建立起信心.

從中學到大學，是人生的重大轉折. 大學生活的重要特點表現在：生活上要自理，管理上要自治，思想上要自我教育，學習上要求高度自覺. 尤其是學習的內容、方法和要求上，比起中學的學習發生了很大的變化. 要想真正學到知識和本領，除了繼續發揚勤奮刻苦的學習精神外，還要適應大學的教學規律，掌握大學的學習特點，選擇適合自己的學習方法. 大學的學習既要求我們掌握比較深厚的基礎理論和專業知識，還要求重視各種能力的培養. 除了扎扎實實掌握書本知識之外，還要培養研究和解決問題的能力. 要特別注意自學能力的培養，學會獨立地支配學習時間，自覺主動地學習，還要注意思維能力、創造能力、組織能力、表達能力的培養，為將來適應社會工作打下良好的基礎.

“數學分析”是大學數學的基礎課程，是整個高等數學的開端，只有學好了數學分析才有課程在高等數學中逐步前行. 而數學分析所用的有限和無限的數學思想，是高中數學很少接觸到的，雖然高中數學當前也學習了微積分，但是高中數學中的微積分是以初等數學思想為基礎的，與高等數學思想截然不同，因此學生在學習“數學分析”時會越感吃力. 很多學生認為自己付出了很多辛苦，但是在數學分析上卻無法獲得較高的成就，這正是因為沒有擺正思想. 如果付出沒有成就，那么學生就會逐步喪失信心，最終止步不前.

因此，建立學生的自信心尤為重要.

二、“數學分析”課程的地位、作用及知識脈絡

“數學分析”是數學與應用數學等專業的專業基礎核心課程，是從初等數學到高等數學過渡的橋梁，是大學數學理論的重要源泉，很多后續數學課程如概率論與數理統計、常微分方程、復變函數、實變函數及泛函分析等課程都是數學分析的延伸與深化.

與此同時，數學分析又是許多非數學課程學習和研究的重要工具，在經濟學、金融學、物理學及生物學中都有著廣泛的應用. 在培養具有良好的理性思維素養和創新精神的數學及其應用人才方面起著特別重要的作用. 可以說，任何學科的進步都離不開數學，而數學的任何進步，都是以數學分析為基礎的. 只有學好了數學分析，才能夠在以后的科研中越走越遠. 通過本課程的教學可使學生系統地掌握數學分析的基礎理論和基礎知識，能熟練地進行基本運算，具備較強的分析論證能力，為深入理解和分析處理中學數學教材，為分析解決實際問題，為深造學好后續課程打下堅實的基礎.

本門課程的特點是：內容多，跨度大（三學期），概念抽象，系統性與邏輯性強，思想方法典型，應用廣泛. 其研究對象與方法是用無窮小分析的方法研究實值函數. 本課程教師應該在第一次課上介紹本門課程的知識脈絡及一些常用字母和符號的讀法及含義，如ε，δ，？坌？堝，α，β，γ等. 讓學生了解第一學期數學分析的學習內容、重點及難點，做到心里有數.

三、中學數學與數學分析的異同

1. 數學分析的嚴謹性

中國的數學是一種經驗的數學，例如《九章算術》其實是一個現實問題集，只是所有的問題都是用數學解決的，而歐洲的數學從《幾何原本》開始就是一種邏輯的數學，其發展是建立在邏輯推理之上的. 中學的數學，雖然也涉及到了邏輯推理、幾何證明等內容，但究其本質，并不是一種純粹的數學，更多的是一種數學經驗的總結，并沒有顯示出高等數學的本質.

數學分析與中學數學明顯的一個差異就在于數學分析的嚴謹性、系統性與邏輯性. 數學分析強調數學的嚴密的基礎理論體系，具有概念抽象等特點. 而中學數學則主要注重計算與解題. 針對這個特點，學習數學分析就應該注重建立自己的數學理論知識框架. 在數學分析中，使用的是一種純粹的數學語言ε，δ語言，這種語言和以往的數學不同，是一種以符號推理為基礎的數學語言，整個語言體系環環相扣，邏輯性極強. 學習和掌握好這門語言是學好數學分析的關鍵，同時也只有認識到這門語言和以往數學的不同，才算是邁開了高等數學的第一步.

2. 教學方法的區別

中學數學教學特點是講得細講得慢練得多，側重計算，講究的是題海戰術. 大學數學講得快，重復少，例題少，注重概念的講解及定理的證明. 由于數學分析與中學數學比起來數學符號多、抽象內容多且不好理解，學生一開始學起來很吃力，稍有放松可能就要掉隊. 因此，學生一定要做好學習數學分析的心理準備，不能用中學數學的學習經驗來對付數學分析. 數學分析學好的關鍵不在于做了多少題，重要的在于首先要理解好課本，和中學教學相比，習題并不是高等數學的重點，定理定義的推導過程，以及推導過程中蘊藏的數學思想才是數學分析課程中的重點，學生如果能夠理解數學分析中定理定義的推導過程，那么他們自然也就學會了高等數學思想，如果單純的做題，而忽視了數學大廈的建立過程，那么自然會進入“學而不思則罔”的境地.

在中學教學當中，發現法、探究式教學、小組討論法等都是常用的教學方法，但是在大學，課堂內容多，課堂容量大，教學難度大，教學時間緊，小組討論法等方法使用性小，而對于一些較難的定理公式等，學生也很難去發現，因此有意義的接受式教學法比中學使用的更多，而這是不利于學生主動性發揮的，所以，在第一節課知識點較少，難度較低時，應該盡量使用探究式教學等能夠讓學生參與到教學環節中的教學方法，提高學生的主動性.

3. 數學分析內容的豐富性

在中學數學中，教師利用三年時間講解了集合、實數、自然數、整數、有理數、無理數、虛數、函數、基本初等函數、分段函數、極限、導數、概率等知識點. 但是，在數學分析教學中，這些內容只是幾節課的內容. 數學分析的巨大的知識含量、極大的知識跨度、抽象的思維和相對較少的教學時數是學生學習的最大障礙. 在教學中常常遇到一種情況， 學生第一節課學習的內容與中學相似，所以會認為數學分析較為簡單，產生了輕視的心理，而到無窮小這一定義一出現，就忽然發現自己不會了. 曾經有學生說過，“數學分析這門課，第一天講了20頁，我全會，第二天講了2頁，我什么也不會”反應的就是這種情況. 因此，在第一節課的教學中，我們一定要告訴學生，不能因為中學有相關內容而分心，更不能用中學的思想來看待這些問題，否則以后的課程就會舉步維艱.

四、“數學分析”課程的學習方法

在“數學分析”課程的學習中，除了注意預習、聽課、復習、總結、課后練習等環節外，更為重要的是：

1. 有興趣地學習

兩千多年前的孔子說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者. ”愛因斯坦也說過：“在學校里和生活中，工作的最重要動機是工作中的樂趣. ”要培養學習數學的興趣首先要認識學習數學分析的重要性. 數學被稱為科學的皇后，它是學習科學知識和應用科學知識必需的工具. 而數學分析是大學數學理論的基石，可以說，學不好數學分析，也就不可能學好數學. 如何培養學生學習數學分析的興趣，一直是數學分析教育研究的重要課題之一. 所有的研究都表明，想要引起學生的學習興趣，第一節課非常重要，只有第一節課講的好，才能吸引住學生的目光，引起學生的學習興趣，反之則不然. 所以，第一節課一定要用高等數學思想引領中學出現過的這些知識點，讓學生認識到高等數學思想的美感，讓學生體會到用高等數學思想引領初等數學的成就感，讓學生發現高等數學思想在解決初等數學問題時的重要性，只有學生領悟了這些，學生才能夠認識到數學分析這門課的實質，才能夠引起他們學習興趣，進而獲得數學學習的成功體驗. 興趣是最好的老師，任何學科都需要培養學生的學習興趣，數學是一個枯燥的學科，這更對興趣的培養提出了較高的要求. 如果第一節課學生就產生了厭學的心理，那么他在高等數學上的道路就很難走通了.

2. 主動地鉆研

學生在深入鉆研的過程中，可以領略到數學分析的奧妙，體會到獲取成功的喜悅. 長久下去，自然會激發出學好數學分析的高度自覺性和積極性. 用興趣推動學習，而不是用任務觀點強迫自己被動地學習. 高等數學學習在于堅持和鉆研，他的樂趣在此，他的成功也在這里. 同時高等數學教學難度大，教學內容多，教學深度、廣度都遠遠超過中學數學，學生如果沒有一種鉆研的精神，是不可能學習好數學分析的. 同時如果沒有在數學分析的學習中養成一種刻苦鉆研的態度，那么在今后的學習過程中也是無法獲得成功的. 培養學生的鉆研態度，需要從第一節課做起. 因此，在第一節課的教學過程中，要讓學生參與到教學內容之中，參與到定理、公式的推導過程中，參與到解題過程中. 只有在第一節課開始養成刻苦鉆研的習慣，學生才能夠在今后的日子里越走越遠，越學越深. 曾經有學生問過我“為什么咱們的黑板這么大，是四面的”，當他們看到數學分析中推導證明時就明白了，因為四面黑板有時也不夠一個定理的推導，需要更多的版面. 如果學生沒有刻苦鉆研的精神，當他們看到這么多的定理推導時，就已經開始放棄數學了，而如果他們能夠刻苦鉆研，能夠跟上老師的教學思路，那么再多的證明步驟也是簡單的，也是可以接受的.

3. 發揮學習的主動性

大學和中學的最大不同之處就是在于，中學學習中，教師起引領作用，雖然有作業，但是基本上很少需要學生自主學習，學生每天都有學習內容，學生不需要太多想自己需要學習什么. 但是大學則不同，教師上課后學生很難找到教師，學習什么內容需要學生自己決定. 如果學生不會主動學習，不知道學習方法，那么很難取得成就. 因此，學生必須建立主動性，只有主動學習，才能夠在數學分析的道路上越走越遠.

五、具體教學內容的講解

數學分析第一次課的知識點有實數及其性質、絕對值與不等式等. 由于學生是第一次接觸數學分析，本節課的講解速度不宜快. 其中，實數的概念學生在中學已經學過，教師應重點講解實數集的性質，特別是實數的稠密性.

實數的稠密性和高等數學中有限和無限的思想密不可分，同時也是整個高等數學的基礎，在中學數學里，學生對有理數認識較多，對無理數認識較低，對數的稠密性幾乎沒有應用，因此且不可認為學生對數的理解已經達到了高等數學所需要的高度，應該放慢速度，讓學生參與到教學當中，發揮其主動性，理解和認識實數的基本性質，具體內容也可以參照《初等數學研究》中相關的內容，這對數學分析后面課程的學習是有幫助的.

“例2 設a，b∈R. 證明：若對任何正數ε有a < b + ε，則a ≤ b. ”的講解是本次課教學的另一個重點. 由于學生是第一次接觸ε，教師應利用大量時間解釋說明ε的含義及其應用.

對于絕對值與不等式部分，教材在實數a的絕對值定義后說明了“數a的絕對值|a|就是點a到原點的距離”，并給出了實數的絕對值的一些性質. 教師應特別強調絕對值|a - b|描述的就是實數a與b間的距離，并對三角形不等式：

||a| - |b|| ≤ |a - b| ≤ |a| + |b|，？坌a，b∈R

進行詳細證明.

六、結 語

“數學分析”課程第一次課的教學是數學分析課程教學的重要組成部分. 針對如何上好“數學分析”的第一次課，本文在作者多年的教學實踐基礎上，在（1）介紹大學的學習與生活、幫學生樹立信心，（2）介紹“數學分析”課程的地位、作用及知識脈絡，（3）介紹中學數學與數學分析的異同，（4）介紹“數學分析”課程的學習方法，（5）具體教學內容的講解等方面提出了自己的見解. 作者認為，充分發揮第一次課這一教學環節的積極作用，并與其他環節相結合，必能激發學生的學習動力，極大地提高數學分析課程的教學質量.