對流—反應—擴散邊值問題的有限差分方法求解

張新蕾

【摘要】本文介紹了對流-反應-擴散方程，及有限差分法和迎風差分法的發展過程.然后對中心差分格式、一維差分格式及迎風差分格式做了簡單的說明，并通過一個例子對一般有限差分法和迎風差分法在求解對流占優的對流-反應-擴散方程的優劣進行了比較.

【關鍵詞】對流占優問題；迎風差分法

一、對流-反應-擴散方程

對流-反應-擴散方程是一類基本的運動方程，它對對流-反應-擴散問題的數值計算有著十分重要的理論意義及實際應用問題，可用于環境科學、能源開發、流體力學等科學領域.其中對流-反應-擴散方程的定解問題是一種物質輸運與分子擴散的物理過程和黏性流體流動的數學模型，它可以用來描述河流污染、大氣污染、核污染中污染物質的分布，流體的流動和流體中熱傳導等眾多物理現象.由于對流-反應-擴散方程有著諸多用途，求解此方程的方法一直受到學者的重視.

二、對流-反應-擴散方程的解法

有限差分方法自20世紀50年代以來得到了廣泛的應用，該方法概念清晰，方法簡單、直觀.雖然其與變分法相結合所形成的有限元法更有效，但有限差分還是以其固有特點在數值計算中有其重要地位，是應用最多的一種數值方法.為求解由偏微分方程定解問題所構造的數學模型，有限差分法是將定解區域（場區）離散化為網格離散節點的集合，并以各離散點上函數的差商來近似該點的偏導數，使待求的偏微分方程定解問題轉化為一組相應的差分方程，根據差分方程組解出各離散點處的待求函數值——離散解.

然而，在求解加權偏微分方程的近似解時，直接使用數值方法有可能產生嚴重的問題，例如：振蕩、鎖定及奇異矩陣等其他問題.其原因可能是因為忽略了與其中某個具體問題相對應的基本規則.我們以對流-反應-擴散方程中對流占優問題為例，對流占優問題對數值分析的方法的可用性進行了分類.有些方法在非對流占優問題上可以很好地應用，但在對流占優問題上卻不能使用.這一點在應用BubnovGalerkin方法的檢測函數設置的和形函數相同時尤其明顯.在實際應用中，這些檢測函數和形函數通常是有限元方法，也就是需要網格的方法.在以最小能原理為基本思想的結構性分析中，如果是非對流占優問題，應用BubnovGalerkin方法可以得到對稱矩陣和最優近似結果.但是在對流占優問題下，情況卻完全不同，與平流項相關的矩陣是非對稱矩陣，而且所得出的解也不再是最優近似解，結果中出現了寄生振蕩，這種情況隨著對流項優勢的增加而愈發嚴重.這不僅導致定性分析的結果不準確，甚至會違反基本的物理原則，像熵、濃度的界為正等.我們已經知道這種振蕩解產生的原因主要由微分方程中占優勢的對流項決定.對流項的作用由一些已知的識別數決定，像是Peclet數和Reynolds數，這些數越大，那么對流項所占優勢越大，解的振蕩越強烈.由此我們引入迎風差分法.

迎風格式是流體力學中有限差分法的一種離散格式，由于是采用由下游向上游差分的方法代替微分，看起來似乎是迎風而上的差分格式，所以人們又叫迎風差分格式.而迎風格式又可以分為一階迎風格式和二階迎風格式，其中，一階迎風格式容易獲得不準確的解，除非劃分足夠細密的網格，而且有一定的假擴散的作用，即人工黏性.為此引入二階迎風格式，這種格式可以獲得較準確的近似解，并且絕對的穩定.

因此本文將簡單地介紹一般有限差分法和迎風格式，并通過求解一個示例來對一般差分法和二階迎風格式的精確度與穩定性進行比較.

三、迎風差分法介紹

對流項優勢加強，一般差分法振蕩更加嚴重.

五、小 結

由以上示例可知，一般差分法在對流占優的情況下所得的近似解會出現振蕩，并且對流項的優勢越明顯振蕩越嚴重.雖然隨著節點密度的增加振蕩會減輕，但是要得到精確度高的近似解要求所取節點密度很高.而迎風差分法則不存在近似解振蕩的現象，要得到高精度的近似解所取的節點數要少于一般差分法，這在計算上節約了時間，對計算機的要求也有所降低，更加符合最小能量原則.因此，在求解對流-反應-擴散問題時，迎風差分法要優于一般差分法.

【參考文獻】

[1]A Review of PetrovGalerkin Stabilization Approaches and

an Extension to Meshfree Methods—ThomasPeter Fries，Hermann G.Matthies 、Institute of Scientific Computing Technical University Braunschweig Brunswick，Germany Informatikbericht Nr.2004-01 March 30，2004.

[2]李榮華，馮果忱.微分方程數值解法（第三版）.高等教育出版社.