中考數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”類試題的分析與思考

鄭宇敏

摘要：“課題學(xué)習(xí)”作為《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的一個新生事物，越來越受到各地命題專家的青睞。在本文中，筆者借鑒中考試題中的三個案例，從不同側(cè)面進(jìn)行分析與探究，旨在拋磚引玉，引領(lǐng)讀者在今后的課堂教學(xué)中對“課題學(xué)習(xí)”有一個準(zhǔn)確的定位，以便全面落實新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：圖形折疊；數(shù)學(xué)模型；面積分割

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0086

新課標(biāo)在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”這些知識性領(lǐng)域之外，設(shè)置了“實踐與綜合運用”的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并在第三學(xué)段以“課題學(xué)習(xí)”為主題加以呈現(xiàn)。“課題學(xué)習(xí)”的基本目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過程：體驗知識之間的內(nèi)在聯(lián)系并形成對數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識；獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗，并發(fā)展思維能力；通過克服困難和獲得成功的體驗增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的自信心。因此“課題學(xué)習(xí)”被認(rèn)為是新課程改革最富有特色的新增內(nèi)容，不少中考命題將“課題”引入到中考舞臺，其中最引人注目的地方是將課題研究放置到壓軸題的高度。

仔細(xì)翻閱近幾年中考數(shù)學(xué)命題中的“課題學(xué)習(xí)”型試題，都是以壓軸題的內(nèi)容或形式呈現(xiàn)出課題研究的影子，這絕對是中考命題的新動向，應(yīng)引起廣大師生的高度重視，本文試將各地中考數(shù)學(xué)命題中所涉及的課題素材壓軸題加以分析，以及如何在平時教學(xué)中搞好課題學(xué)習(xí)談一些認(rèn)識，希望起到拋磚引玉的效果。

一、百花齊放的“課題學(xué)習(xí)”型試題

案例1(2009年山西·太原卷)

問題解決：

如圖1，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊CD上一點E(不與點C、D重合)處，壓平后得到折痕MN。

當(dāng)=時，求的值。

方法指導(dǎo)：

為了求得的值，可先求BN、AM的長，不妨設(shè)：AB=2。

類比歸納

在圖1中，若=，則的值為；若=，則的值為；若=(n為整數(shù))，則的值為(用含n的式子表示)。

聯(lián)系拓廣：

如圖2，將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在邊CD上一點E(不與點C、D重合)，壓平后得到折痕MN，設(shè)=(m>1)，=，則的值為(用含m、n的式子表示)。

評注：該題創(chuàng)設(shè)了一個以正方形紙片的折疊為背景的問題，為學(xué)生提供了一個動手操作實踐的數(shù)學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中體驗知識的形成過程，發(fā)現(xiàn)解決問題的思維方法。以此為導(dǎo)航，讓學(xué)生猜想問題結(jié)論的規(guī)律，該課題的設(shè)計體現(xiàn)了從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般進(jìn)行不完全歸納的數(shù)學(xué)思想，更加注重知識形成過程的引領(lǐng)，符合新課程落實“過程性目標(biāo)”的指導(dǎo)思想，即要求學(xué)生能夠理解并掌握在正方形中解決問題的思考方法，然后概括出解決問題的思維模式，去類比發(fā)現(xiàn)相似問題的解決方案。試題滲透了圖形的軸對軸變換思想，以及通過構(gòu)造方程用代數(shù)法處理幾何問題的數(shù)形結(jié)合思想，考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質(zhì)及判定、三角形全等的性質(zhì)及判定、直角三角形的勾股定理及軸對稱的性質(zhì)。

案例2(2010年福建莆田卷)

某課題組在探究“泵站問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線I同旁有兩個定點A、B，在直線I上存在點P，使得PA+PB的值最小。解法：作點A關(guān)于直線I的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線I的交點即為P，且PA+PB的最小值為A′B。

請利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何運用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為 。

(2)幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值。

(3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式+(0≤x≤4)的最小值。

評注：本題是一道以實際問題建模的應(yīng)用題，試題一開始就給出一個在課本出現(xiàn)的實際問題，但命題者引導(dǎo)學(xué)生運用解決思想問題的常見方法——建立數(shù)學(xué)模型(模型拓展)、從特殊到一般地分析問題，讓學(xué)生通過觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納類比、概括、模擬等方法解決問題，幫助學(xué)生完成模仿到創(chuàng)造的思維過程，符合中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

通過做此題，讓學(xué)生明白面對一個全新的問題，應(yīng)如何利用已有的知識去解決；面對一個復(fù)雜的問題，應(yīng)如何將其轉(zhuǎn)化為簡單的問題去處理；面對一個抽象的問題，應(yīng)如何將其轉(zhuǎn)化為形象具體的問題去解答，即將陌生問題熟悉化、隱形問題明朗化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，這就是命題者的初衷。

案例3(2010年陜西卷)

問題探究：

(1)試在圖1中作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。

(2)如圖2，點M是矩形ABCD內(nèi)一定點，試在圖2中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分。

(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)用地示意圖，其中DC//OB，OB=6，BC=4，CD=4，開發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(其占地面積不計)設(shè)在點P(4，2)處。為了方便駐區(qū)單位，準(zhǔn)備過點P修一條筆直的道路(路的寬度不計)，并且使這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分。你認(rèn)為直線l是否存在？若存在，求出直線的表達(dá)式；若不存在，試說明理由。

評注：該命題的“問題探究”讓學(xué)生通過畫圖操作探究發(fā)現(xiàn)，等分矩形面積的直線必須過矩形的對稱中心，而且矩形的每一條對角線所在的直線都是平分矩形面積的直線，而且這兩條直線都通過交點，這點正好是矩形的對稱中心，由此拓展到過矩形對稱中心的任意一條直線都可以把矩形分成面積相等的兩部分。對于“問題解決”中的梯形，可以通過作高將其轉(zhuǎn)化為矩形和三角形。

(如圖4，過點D作D′A⊥OB，垂足為點A)，而直線l所通過的點P(4，2)正好是矩形ABCD的對稱中心，因此，直線l只要平分△AOD的面積即可。這樣可以利用一次函數(shù)的知識，用待定系數(shù)法確定直線l的k值。整個問題的設(shè)計循序漸進(jìn)，以畫圖操作為基礎(chǔ)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平分中心對稱圖形面積的直線應(yīng)滿足的必要條件，然后讓學(xué)生在實際問題的探究中進(jìn)行拓廣應(yīng)用，符合辯證唯物主義“實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識”事物的規(guī)律，其中滲透了類比化歸、數(shù)形結(jié)合、方程函數(shù)思想。

二、感情與啟示

研究意識與能力已成為人的一項基本素質(zhì)，也是衡量人才水平的一個重要指標(biāo)，故肩負(fù)著考查學(xué)生此項能力重任之一的“課題式”壓軸題越來越顯示出其重要作用，已成為中考數(shù)學(xué)壓軸題中的一朵奇葩，必將是命題者進(jìn)行探究的新課題。近幾年中考數(shù)學(xué)試卷中的“課題學(xué)習(xí)”型題所考查的側(cè)重點是不同的。從數(shù)學(xué)能力角度看，考查過探究性質(zhì)、數(shù)學(xué)建模、化歸和推理、論證與能力。從數(shù)學(xué)思想方法的角度看，考查過數(shù)形結(jié)合、類比、歸納概括、數(shù)學(xué)模型和轉(zhuǎn)化(化歸)等數(shù)學(xué)思想方法。從試題的結(jié)構(gòu)看，百花齊放，不拘一格，活潑新穎。但也有美中不足之處：有些題難度過大，越過絕大多數(shù)學(xué)生的實際水平，通過率太低，考試的可區(qū)分性受到影響。

在我們當(dāng)前的教學(xué)中，有部分教師只是照本宣科地多講知識結(jié)論，對人們發(fā)現(xiàn)知識和形成知識的過程，以及獲得知識和解決問題的方法卻很少涉及。新課標(biāo)強調(diào)教師給予學(xué)生的不僅僅是知識本身，更重要的是要教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識和創(chuàng)造知識的過程，幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，特別是終身學(xué)習(xí)的方法和解決問題的策略，作為教師要把培養(yǎng)學(xué)生主動獲得知識、創(chuàng)造性獲得知識作為職業(yè)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡松.例說“課題學(xué)習(xí)”的教學(xué)實施[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010(8).

[2] 王錚.“課題學(xué)習(xí)”的案例設(shè)計與探究[J].試題研究，2010(3).

[3] 潘小梅.以賽促研，提升教師專業(yè)素養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2010(11).