數學習題在教學中的作用

解偉國

摘要：數學習題是教學中的重要組成部分，是學生鞏固和消化所學知識并轉化成為技能的重要環節，它在教學中起著舉足輕重的作用。本文主要通過知識功能、教育功能、智育功能和評價功能對習題的作用進行了闡述。

關鍵詞：知識功能；教育功能；智育功能；評價功能

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0144

習題是數學課本中的重要組成部分，訓練得好壞，直接影響到學生學習質量的高低，許多優秀數學教師的教學質量之所以高，一部分原因也是由于習題選擇和處理得恰當。當代著名數學教育家波利亞(G·Polya)強調指出：“中學數學教育的首要任務就是加強解題訓練?！币?，習題訓練是學生牢固掌握數學基礎知識的必要途徑，也是運用知識和進行獨立思考來培養基本技能的重要手段。下面筆者談談數學習題在教學中的幾個作用：

一、知識功能

通過數學習題，學生能獲得系統的數學知識，形成必要的技能技巧。

1. 在引入新知識中的作用

學習新知識，最重要的是建立在舊知識之上，奧貝爾(D·P·Ausubel)曾指出：“影響學習的最重要的因素，是學生已經知道了什么，根據學生的原有狀況進行教學?！痹谠兄R上提出問題，引起學生思考，產生疑問，從而激發學生的求知欲，這即是“學起于思，思源于疑，”在這個過程中，習題是架設在新舊知識之間的橋梁。如在教學二次根式加減時，教師可先提出題目，計算3x-2x，4x2+7y2-2x2，并說出整式加減的計算法則，再提出問題，把3x-2x改為3-2呢？觀察比較原有式子與改后式子有什么異同？如何計算？造成學生“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢，從而激發學生探索新知識的欲望和思維的積極性，為教學創設最佳情境。此外，在學習新知識時，學生對舊知識的練習，可以使這些知識得到進一步的鞏固，從而為新知識的教學作好鋪墊作用。

2. 在鞏固知識中的作用

鞏固知識不僅靠死記硬背，更主要的是理解，使學生不但知其然，而且知其所以然，便于記憶和應用。在教學數學概念時， 教師讓學生理解概念，實質上是幫助學生弄清事物之間的本質特點。例：“判斷是否為無理數？”這樣的習題，學生錯誤率較高，為使學生進一步理解無理數這個概念，教師可輔以“什么是無理數？”“無理數通常有哪幾種形式？”“有理數與無理數有什么區別？”等問題，對概念進行比較辨析，從而達到知識的同化與內化。

布魯納說過：“領會基本的原理和概念，看來是通向適當的‘訓練遷移的大道?！毙屡f知識、技能之間存在相同或相似的因素，是產生遷移的客觀因素，它們之間的共同因素越多，遷移就越容易產生。學習者自身的分析、概括能力則是產生遷移的主觀因素，分析、概括能力水平越高，也就越容易產生遷移。古人所發現的舉一反三、觸類旁通就是遷移在學習過程中的表現。例：“305的78倍是多少”與“一個數的78倍是23790，這個數是多少”的問題列算式時，兩者總是混淆。事后發現，學生學習了“求一個數的幾倍是多少”用乘法計算后，再學習“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”時，這些學生是把在舊學習情境中建立起來的情境，遷移到新的學習情境中去，加上在練習時，沒有審清題意所致。因此，學生要通過數學習題的練習、觀察、比較、概括來鞏固概念。

3. 在應用知識中的作用

學生通過解題，使掌握的數學概念、定理、公式得到進一步的應用。

例1：已知：如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，EC⊥BC，且EC=BD，求證：AE∥BC。

要證明此題，涉及到的知識點有等邊三角形的性質、中點的定義、垂直定義、三角形全等的判定定理和性質定理、平行線的判定定理。

例2. 種糧大戶陳大伯有兩塊地，第一塊50公畝，共收糧6.5噸，第二塊地30公畝，共收糧47噸，陳大伯家這兩塊地平均產1噸糧要多少公畝地？

要解答此題，涉及到的知識點有對平均數的理解，總數、份數、每份數之間的數量關系，及總數與部分之間的數量關系等。

通過練習，學生可以增強分析問題和解決問題的能力，對基礎知識有進一步的掌握，并會正確、合理、熟練地應用，形成一定的技能技巧。

二、教育功能

辛欽曾指出，數學課程對形成學生的性格和道德個性方面有巨大的作用，對于一個數學習題的解答，一般沒有正確與錯誤之爭，而只有好與不好的問題，數學的真理性的這種不可爭辯性，包含著巨大的教育價值。

例如：在四則混合運算教學時，可先從故事引入，200多年前，德國大數學家高斯才10歲時，教師出了一道算式：1+2+3+…+100=？當別的學生才加了幾個數時，小高斯馬上算出答案是5050。為什么這樣快就算出來呢？小高斯不是按運算順序逐一相加，而是把100個數的首和尾依次加起來，即1+100，2+99，…，50+51，共50對，總和是101×50=5050，小高斯采用首尾結合，變加為乘的方法使運算簡便。

又如：到第十一個五年計劃未，我國高速公路增加到74000千米，比第十個五年計劃未的1.8倍還多200千米，求“十一五”期間新增高速公路多少千米？

教師通過習題的引入和練習，可以培養學生思維的敏捷性以及獨立思考、克服困難的精神，同時又可以向學生進行辯證唯物主義世界觀的教育，了解傳統數學的成就，以及科學技術文化的發展成就，對學生進行國情教育和愛國主義教育，有助于愛國主義思想的培養。

數學習題的教育功能還在于它能給學生以美的陶冶，數學習題的條件具有和諧性、獨立性；形式的對稱性、圖形的完美性；解法的合理性、簡練性和獨創性這些特征無不體現了數學的統一美、簡單美和奇異美。法國啟蒙思想家狄德羅說：“所謂美的解答過程，是對困難復雜問題的簡單回答?！比巛S對稱圖形、正三邊形、正六邊形、橢圓等圖形的均稱性；雞兔同籠問題的趣味性等，都給予人美的享受。

三、智育功能

通過數學習題的解答，學生可以牢固地掌握數學的基礎知識和基本技能，形成科學的思維習慣，激發強烈的應用意識及創造能力，并獲得發展推理能力、化歸能力和數學建模能力，以及運用方程、不等式和基本平面圖等數學觀念的能力。

例1. 如圖，計算環形的面積(單位：厘米)

外圓周長C=37.68 ，其中π取3.14

此題綜合運用舊知識，鞏固新知識，既求同又求異。

例2. 一個直徑為10米的圓形花壇的外面，修一條寬2.5米的水泥路，這條水泥路的面積是多少平方米？

此題培養了學生的空間想象力和運用知識解決實際問題的能力。

例3. 已知外圓的半徑是20厘米，環形的面積為96平方厘米，求內圓的面積。

此題培養了學生靈活運用知識的能力，形成技能技巧，培養學生的逆向思維。

例4. 如圖，D、E是△ABC中BC邊上的兩點，(1)若已知AD=AE，要得到△ABE≌△ACD，還應補充一個什么條件？

(2)若已知AB=AC，AD=AE，可證得哪幾對三角形全等？并分別寫出證明。

此題綜合運用知識，培養學生的發散思維和創造力。

總之，教師通過數學習題教學，可以使學生開拓了智力、培養了能力、增強了空間觀念、發展了思維，形成了一定的技能技巧。

四、評價功能

檢查與評定學生的學業成績是整個教學工作不可缺少的一個環節，對教與學雙方都具有重要意義，一般是通過解題來完成。評定的內容有兩個方面，一是知識水平；二是能力水平。

目前，我國中小學數學的考評，以考查知識水平為主，通常通過做試題的形式完成。試題中習題選擇要符合教學大綱的要求，重視知識廣度、深度和運用知識解決問題的熟練程度。某學生在一次考試中，數學得了85分，單這一分數本身而論，并沒有什么意義，如與其他學生相比，就可以說明屬于好、中、差哪一個等級；或與筆者過去的數學成績相比，說明是進步還是退步等。教師還可以設計好習題內容，通過課堂提問、檢查書面作業、板演等方法了解學生的學習情況。

考查學生的能力水平，可以在數學習題練習中得到體現，通過解題來檢查學生的運算能力、邏輯思維能力和空間觀念，以及分析問題和解決問題的能力。要考查能力水平的試題，如競賽題，美國的SAT測試題等；要測試學生動手操作能力，可讓學生量出18.5cm×26.0cm的數學課本、2m×0.9m的門框的長與寬，并算出面積，教師可根據下表來測定學生的能力水平。

總之，數學習題在教學中具有舉足輕重的作用，學生正確地理解習題的重要性，有助于提高教學質量，培養學生的各種能力，促進學生思維發展。