平面向量在解題中的應(yīng)用

趙小強(qiáng)

一、知識(shí)與方法

1．向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問題．

(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b赼＝λb(b≠0)趚1y2－x2y1＝0.

(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

a⊥b赼·b＝0趚1x2＋y1y2＝0.

(3)求夾角問題，利用夾角公式

cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2y1y2x21y21x22y22(θ為a與b的夾角)．

2．向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)．

3．向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體．

二、考向研究

考向一向量在平面幾何中的應(yīng)用

例1：Ｔ凇鰽BC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，則△ABC的形狀一定是()．

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

［審題視點(diǎn)］ 根據(jù)向量式尋找△ABC邊、角之間的關(guān)系．

解析(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA-AC)＝0，即AC·(BC＋BA+CA)＝0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．

答案C

方法錦囊》 對(duì)于此類問題，一般需要靈活運(yùn)用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，將已知條件等價(jià)變形，從而得到結(jié)論．

特別地，有的問題還需要依據(jù)幾何圖形選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，然后計(jì)算或證明．

訓(xùn)練1：(2013·漢中質(zhì)檢)已知點(diǎn)O，N，P在△ABC所在的平面內(nèi)，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的()．

A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心

C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心

考向二向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2：Ｉ柘蛄縜＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.

［審題視點(diǎn)］ 根據(jù)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)列式(三角函數(shù)式)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)問題．

(1)解因?yàn)閍與b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)解由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得

|b＋c|＝(sinacosa)2(4cosa4sina)2

＝1715sin2a≤42.

又當(dāng)β＝kπ－e4(k∈Z)時(shí)，等號(hào)成立，

所以|b＋c|的最大值為42.

(3)證明由tan αtan β＝16，得4cosásina＝siná4cosa，所以a∥b.

方法錦囊》 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．

(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．

訓(xùn)練2： 已知向量a＝cos3x2sin3x2，b＝cos x2，－sin x2，且x∈0e2.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．

考向三向量在解析幾何中的應(yīng)用

例3：Ｒ閻平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且PC+12PQ·PC-12PQ＝0.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求PE·PF的最值．

［審題視點(diǎn)］ 第(1)問直接設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，先把向量之間的關(guān)系化簡(jiǎn)，然后代入向量坐標(biāo)，化簡(jiǎn)整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質(zhì)化簡(jiǎn)向量數(shù)量積，將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)N的距離的最值，最后代入點(diǎn)的坐標(biāo)將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．

解(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)．

由(PC＋12PQ)·(PC－12PQ)＝0，得|PC|2－14|PQ|2＝0，

即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化簡(jiǎn)得x216＋y212＝1.

所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為x216＋y212＝1.

(2)因PE·PF＝(NF－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝(－NP)2－NP2＝NP2－1，

P是橢圓x216＋y212＝1上的任一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，

則有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，

所以2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17

＝－13(y0＋3)2＋20.

因y0∈［－23，23］，所以當(dāng)y0＝－3時(shí)，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值為19；

當(dāng)y0＝23時(shí)，NP2取得最小值為13－43(此時(shí)x0＝0)，故PE·PF的最小值為12－43.

方法錦囊》 向量在解析幾何中的作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．

(2)工具作用：利用a⊥b赼·b＝0，a∥b赼＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法．

訓(xùn)練3：已知點(diǎn)P(0，－3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿足PA·AM＝0，AM＝－32AQ，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．