平面向量在解題中的應用

趙小強

一、知識與方法

1．向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題．

(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b赼＝λb(b≠0)趚1y2－x2y1＝0.

(2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質

a⊥b赼·b＝0趚1x2＋y1y2＝0.

(3)求夾角問題，利用夾角公式

cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2y1y2x21y21x22y22(θ為a與b的夾角)．

2．向量在三角函數中的應用與三角函數相結合考查向量的數量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型．解答此類問題，除了要熟練掌握向量數量積的坐標運算公式、向量模、向量夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識．

3．向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述．它主要強調向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答，坐標的運算是考查的主體．

二、考向研究

考向一向量在平面幾何中的應用

例1：Ｔ凇鰽BC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，則△ABC的形狀一定是()．

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

［審題視點］ 根據向量式尋找△ABC邊、角之間的關系．

解析(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA-AC)＝0，即AC·(BC＋BA+CA)＝0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.又根據已知條件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．

答案C

方法錦囊》 對于此類問題，一般需要靈活運用向量的運算法則、運算律，將已知條件等價變形，從而得到結論．

特別地，有的問題還需要依據幾何圖形選取適當的基底(基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，然后計算或證明．

訓練1：(2013·漢中質檢)已知點O，N，P在△ABC所在的平面內，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則點O，N，P依次是△ABC的()．

A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內心

C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內心

考向二向量在三角函數中的應用

例2：Ｉ柘蛄縜＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.

［審題視點］ 根據平面向量的運算性質列式(三角函數式)，進而轉化為三角恒等變換和三角函數性質問題．

(1)解因為a與b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)解由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得

|b＋c|＝(sinacosa)2(4cosa4sina)2

＝1715sin2a≤42.

又當β＝kπ－e4(k∈Z)時，等號成立，

所以|b＋c|的最大值為42.

(3)證明由tan αtan β＝16，得4cosásina＝siná4cosa，所以a∥b.

方法錦囊》 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解．

(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等．

訓練2： 已知向量a＝cos3x2sin3x2，b＝cos x2，－sin x2，且x∈0e2.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－32，求λ的值．

考向三向量在解析幾何中的應用

例3：Ｒ閻平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且PC+12PQ·PC-12PQ＝0.

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求PE·PF的最值．

［審題視點］ 第(1)問直接設動點P的坐標，先把向量之間的關系化簡，然后代入向量坐標，化簡整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質化簡向量數量積，將其轉化為動點P與定點N的距離的最值，最后代入點的坐標將其轉化為函數的最值求解．

解(1)設P(x，y)，則Q(8，y)．

由(PC＋12PQ)·(PC－12PQ)＝0，得|PC|2－14|PQ|2＝0，

即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化簡得x216＋y212＝1.

所以點P在橢圓上，其方程為x216＋y212＝1.

(2)因PE·PF＝(NF－NP)·(NF－NP)＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝(－NP)2－NP2＝NP2－1，

P是橢圓x216＋y212＝1上的任一點，設P(x0，y0)，

則有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203，又N(0,1)，

所以2＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17

＝－13(y0＋3)2＋20.

因y0∈［－23，23］，所以當y0＝－3時，NP2取得最大值20，故PE·PF的最大值為19；

當y0＝23時，NP2取得最小值為13－43(此時x0＝0)，故PE·PF的最小值為12－43.

方法錦囊》 向量在解析幾何中的作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”，解決此類問題時關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系，從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．

(2)工具作用：利用a⊥b赼·b＝0，a∥b赼＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法．

訓練3：已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足PA·AM＝0，AM＝－32AQ，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程．