對稱、非對稱和迷宮

納吉

摘要：古希臘術語“對稱一非對稱”與數學中“可公度性一不可公度性”的發現有關，它們對于西方數學與演繹科學的誕生有密切關系。這些觀念很快也在美學中顯示了重要性，那就是成比例的與不成比例的。“對稱”的拉丁化術語由于維特魯威的建筑比例理論得以存留于世。到了17世紀，它又獲得了新的數學含義，包括鏡像、旋轉、平移以及更一般意又上的不變性。對稱的現代觀念在晶體學、立體化學和理論物理中也有特殊的重要性，它在美學中則用來表達比例、平衡、韻律等。本文也討論了從古希臘到現代的各種迷宮。關于克里特迷宮的希臘神話有多種版本，本文強調一種可能的克里特本土的觀點。在考古學中，本文突出的是多中心發展的可能性而不是簡單的單中心擴散理論。作者還借助大量實例討論迷宮的歷史，從克里特島上的建筑直到中國皇帝在北京的圓明園。最后又對迷宮的數學作了詳細的介紹，指出這一題材對現代數學和計算機科學發展的貢獻。總之，對稱與迷宮對于在藝術與科學的不同領域建立多種多樣的聯系渠道大有裨益。

關鍵詞：對稱 非對稱 迷宮 科學 藝術

在葡萄紫色的大海中央，有一片叫做克里特的美麗而肥沃的土地。那里生活著許多人，數都數不清，還有九十座城市。他們的語言參雜各異。那里有阿開亞人、本地英勇豪邁的克里特人、庫多尼亞人、戴著羽毛頭飾的多里斯人和俊朗的裴拉斯吉亞人。其中有一座壯麗的城市就是克諾索斯，米諾斯九歲時曾在那里執政，他能與偉大的宙斯通話。

——荷馬《奧德賽》

國際跨學科對稱研究學會（ISIS）在四大洲都召開過大會，但是組織者過去忽略了對稱的“搖籃”。現在，通過在希臘舉行的第九屆大會，讓我們來糾正這種“非對稱”。選擇在克里特這個小島而非大陸上某個地方作為會址是有特殊意義的，因為這樣我們就有一個絕好的機會見識一下希臘的早期文明。除此之外，我們還應該關注另一個希臘島嶼薩摩斯，那里誕生了一個人，他的名字與“對稱”這一概念密切相關。因此在轉到克里特之前，讓我們先看看“對稱。這個概念的演變。

一、古希臘的對稱

眾所周知，薩摩斯島的畢達哥拉斯（公元前6世紀）是數學、音樂和哲學的先驅。但是，我們對他可以確證的事跡幾乎一無所知。他很可能并非是那個被冠以其名的著名幾何學定理的發現者。在現今意大利的南部，畢達哥拉斯創辦了一個帶有宗教色彩的團體，其門徒和追隨者將許多古代成就歸于他的名下。

“對稱”（symmetria）和“非對稱”（asymmetria）的概念很可能是畢達哥拉斯學派因某個幾何學中的發現而創造的，并很快地將其賦予美學意義。簡單地講，這一概念包含：數學中可公度的與不可公度的的長度。藝術中適當的比例和適當比例的缺失。

正方形（或正五邊形）的邊和對角線在長度上不可公度的證明象征著數學中的一個突破。從代數學來講，他們發現了無法以兩個整數之比來表達的無理數的概念。有人將這一發現歸于米太旁登的希帕索斯（Hippasus of Metapontum，公元前5世紀），他是畢達哥拉斯學派的成員。到公元前5至4世紀的時候，“對稱”這個詞已經在數學和美學領域生根，這可以通過柏拉圖和亞里士多德的作品得以證實。之后，歐幾里得的《幾何原本》（約公元前300年）中，有一卷詳細描述了可公度性的原理，而且不僅限于長度，還把可公度性的概念推廣到面積問題（symmetros dynamei）。有趣的是，雖然我們可以從中窺見某種現代意義的端倪，希臘人的對稱并不指鏡面對稱。

隨著希臘文化的衰退，“對稱”這個詞也失去了重要性。典型的例子是在拉丁文中與后來的西方詞匯中，原先的用語都發生了變化：在數學中，希臘語的symmetria演化成拉丁語的commensus，最后變成現代的commensurability，在藝術中，希臘美學意望下的rymmetria演變成拉丁語的proportio，最終成為現代的proportion。

這里有一個無法回避的問題，symmetria是怎樣成為一個拉丁文表述的？

早些時候我研究過這個問題。在華盛頓特區舉行的ISIS大會上，我的答案有點出人意料。拯救“對稱”這一概念并將其傳承下去的功勞應該歸于羅馬建筑師和工程師維特魯威（Vitruvius），他撰寫了一部綜合性的建筑學著作《建筑十書》（約公元前1世紀）。維特魯威將比例方面的專業術語增加了—倍，并頻繁使用兩個相關的術語：其中symmetria指比例的一般理論（使用過85次），proporlio則與比例的實際應用有關（使用過32次）[Nagy 1995]。

有趣的是。希臘意義的“對稱”在《圣經》中，特別是《舊約》里面僅出現過一次，并且是在有關建筑的語境中：

我將為自己建造一棟華麗的大宅（oikon symmetron），樓上的房間寬敞……（Septuagintnt，耶利米書22：14）

不過在以后的譯本中，symmetron被別的詞取代，繼而消失得無影無蹤。

在中世紀，幸存的希臘文和拉丁文手稿中，“對稱”這個詞極少使用。的確，除了歐幾里得著作的阿拉伯文評注本外，需要使用這個概念的數學和美學作品寥寥無幾。于是，這里出現了一個與“對稱的故事”相關的值得進一步討論的問題。

二、“對稱”是如何演變成“鏡面對稱”等現代術語的？

讓我們回到維特魯威來。與其他綜合性的古代建筑學書籍不同，他的著作幸存于世，并在文藝復興時期獲得了重要的地位。該書被廣泛研究——就連達。芬奇也為維特魯威的人體比例理論作了圖解——并被翻譯成意大利文（1521）、西班牙文（1542）、法文（1547）和德文（1548），進而產生了“對稱”一詞的派生詞。“對稱”這個詞還出現在英文的建筑理論著作中（例如1563年John Shutc的一本書）。佩羅（claude Perrault）是一位由頂尖動物學家和生理學家改行的建筑師，他發表了維特魯威著作全新的法文譯本（Paris，1673），并添加了對稱在美學上的作用，暗示了與鏡像對稱相關的新含義。

我們需要補充一點：維特魯威不僅是宏大建筑方面的主要權威，他同樣為民用建筑提供了重要的資料。他的調查從史前最簡單的居所著手，之后便討論小亞細亞的佛律吉亞、伊比利亞半島和其他地區采用不同材料建造的民居。維特魯威在解釋自己的工作時，聲稱通過觀察發現了對稱的方法（ad certas symmetriarumperduxerunt raffones）。我們可以說，他概述了建筑學的早期及隨后演變的歷程，以及對稱觀念（比例原理）的發展。后來，該研究被稱作維特魯威的“原始小屋”，并成為建筑理論中的一個話題。洛吉耶（Abbe Marc-Antoine Laugier，1713-1769）的著作《關于建筑的寫作》（Essai sur l4rchitecture，Paris，1753）就是個例子。無論如何，維特魯維啟發了樸實簡單的鄉村建筑造型。后來，“原始小屋”的想法也引起了勒·柯布西耶（Le Corbusier，1887-1965），賴特（Frank LloydWright，1867-1959）和其他現代建筑師的興趣。

在羅馬時代，“對稱”這個術語在數學中成為空缺，但是它被賦予了新的含義。17世紀后期出現了如下一些概念，如鏡面對稱、軸對稱、重復對稱（若干對等的部分疊加）以及后來一些特殊性質（例如作為守恒性標識的對稱）的提出_這在晶體學的阿羽依對稱律（Hafiys symmetry law，1815）和數學物理中的諾特定理（Noethers theorem，1919）中尤為突出。反對稱（dissymmetry）的概念即對稱元素的缺失，又導致立體化學的誕生（巴斯德[PastcRr]的反對稱分子，1848）和理論物理學的發展（皮埃爾·居里[P.Curie]的反對稱原理，1894）。

從19世紀后期開始，對稱成為現代科學中的一個核心概念，因為它有助于人們在不同的領域發現物體所有可能的形態，一張詳盡的清單將包括晶體空間群（費多羅夫[Fedorov]，熊夫利[schoenflies]，巴羅[Barlow]）、化學異構體（凡特霍夫[vantHoff]，費合爾[Fischer]）、基本粒子（蓋爾曼[Gell-Mannn]，奈曼[Neema]）；在一些領域中則幫助人們預見還沒有發現的一系列新的可能，夸克就是一個例子。這些方法同樣可以用來給藝術分類，如裝飾圖案（Crowe and Washburn的調查）、音樂結構（Graeser對巴赫賦格曲的重構）、建筑形狀（MarchandSteadman）等。

藝術中對稱的古代含望—相應的比例——也幸存下來，而建筑和數學的發展為它賦予新的意義，并同樣在藝術和審美領域派上用場，如鏡面對稱相應于平衡和均衡，重復對稱相應于重復和節奏等等。這意味著對稱這一概念在藝術和科學領域都有價值；此外，它提供了一座橋梁，有利于文化割裂的兩部分之間展開跨學科的交流。

這里想補充的是，在中文和其他一些語言中，“對稱”的語義族無法以一種簡單的陳述來表達。通常的中文翻譯只有一個狹隘的意思，即兩個物體（事物）的鏡面的或雙向的對應，而不含有“比例”的意思在里面。與此同時，中文中關于比例、平衡、節奏等意思的表述卻是豐富多彩的。

當然，古希臘語匯中沒有“鏡面對稱”這樣的詞，并不代表沒有人應用這種結構，希臘廟宇和雕塑中有很多令人興奮的鏡面對稱的例子。如果我們從雅典啟程到克里特旅行——很多旅游者都這樣做——就像在進行一個象征性的時間旅行，我們將看到一個高度發達的早期文明所留下來的珍貴遺產。

三、克里特文明

在很長一段時間里，古代克里特的歷史僅僅可以從希臘文學作品中瞥見。這個島嶼曾數次易主，而沖突、戰爭和新的定居點將它的過去都掩埋起來。希臘文化和羅馬文化時期過后，克里特成了拜占庭帝國的一部分。其間島上的統治權被在這里建立的一個獨立的穆斯林國家短暫挑戰過（大約824-961年）。拜占庭帝國分裂以后，克里特成為威尼斯共和國的殖民地（1205-1669），其后又被奧斯曼帝國統治（1669-1898）。經過19世紀80年代后期的一場戰爭（1898-1913）克里特獲得獨立，最終與希臘統一。

荷馬關于在克里特有很多繁榮城市的描述被許多人當作傳說。但是，德國人施利曼（Heim'ich Schlicmann，1822-1890）并不這樣認為。他原來是個商人，后來改行成了一名考古學家。以荷馬的文字為指引，他取得了巨大的成功，發掘出了特洛伊城一盡管存在些許爭議。事實上，一個當地的商人于19世紀70年代就發現了特洛伊宮殿的遺跡和一些特殊的文物。在去世前不久，施利曼不容置疑地在伊拉克利翁附近發現了克諾索斯（Knossos）宮殿的遺址，但是從土耳其人手中購買這塊土地的努力失敗了。最終，英國考古學家埃文斯（ArthurEvans，1851-1941）爵士于1900年發掘了這座宮殿，工作持續了很多年。宮殿基本上呈正方形，邊長約為130米，整個建筑物不是鏡面對稱的，不過其中有些部分是。殿內有中庭、居室、若干儲藏室，還有由許多小房間組成的形如迷宮的系統。墻上的壁畫為人們考察克里特文化的不同方面提供了素材。一幅大約公元前1400年繪制的大型壁畫上，一個男孩和兩個女孩正在進行雜技表演，他們的胯下是一頭淺紅色的公牛。這或許是某種儀式，因為后來人們在其他地方，包括避難所里，發現了類似的圖像。另一幅壁畫中幸存的部分現在被人稱作巴黎女郎，因為畫中的女郎使用了美容手段，包括紅色的唇膏和黑色的眼線。令人驚訝的是，很多被認為是現代的發明，比如磚石鋪路、上下水系統和沖水馬桶都已經在克諾索斯遺址中發現了。埃文斯和他的同事還發掘出大概3000多塊刻有字符的陶片，幸運的是，由于經過燒制，這些陶片及其上面的字跡得以保存。埃文斯的結論是其中共有三種文字：一種是古象形文字，另外兩種晚一些，他稱之為線型文字A和線型文字B。

與此同時，意大利考古學家裴涅爾（Luigi Pemier）在斐斯托斯（Phaistos）發掘了另一座宮殿。遺憾的是，當他的工人們挖掘出那個被稱為斐斯托斯圓盤的東西時，他本人不在現場。此盤現保存在伊拉克利翁考古博物館，上面載有第四種文字，是在其他地方未曾被發現過的。一些學者甚至懷疑該盤為偽造品，但是現在通常認為它是真實的，制作時間為公元前1850-1400年間。后來通過分析阿卡洛科里雙刃斧（Arkalochori Axe）上的圖案，斐斯托斯圓盤的真實性得以加強：斧上有些符號可能是A類線型文字，另一些則與通盤上的文字符號類似，雖然不盡吻合[Timm，2004]。如果事實果真如此的話，我們就可以討論克里特文明的偉大書寫傳統了，不同族群使用不同的文字系統，不僅僅是三種。斐斯托斯圓盤上共有242個文字符號，它們是用45個獨特的印章在半濕的粘土圓盤上壓制而成的，在盤的兩面均以順時針螺旋方式向中心漸進。由于作者采用了可分拆組合的印章，這一成就可以被視作古騰堡的先驅。

后來的挖掘找到了更多的宮殿：馬利亞（Malia，1920）、卡托扎克羅斯（KatoZakros，1961）、干尼亞（chania，1964）——這些證明西克里特沒有宮殿的看法是錯誤的，以及加拉塔斯（Galatas，1992）。所有這些發掘出來的古代遺址，足以證明克里特經濟生活范圍相當廣闊，宮殿作為當地中心并提供生活儲存，而克諾索斯可能是首都。克里特經營大規模國際貿易的證據也令考古學家們目瞪口呆，為此我們必須用現代地理知識來闡述其原由：東地中海的循環洋流使得克里特至埃及、近東、安納托利亞、塞浦路斯然后回歸克里特的航行易如反掌。因此，荷馬將克里特至埃及的航行描述成“仿佛乘舟順流而下”毫不為過（《奧德賽》，14，252-259）。的確，在克里特發現了來自美索不達米亞和埃及的文物，包括漢穆拉比和埃及十二王朝的文物[Hood，1971]。另一方面，在地中海東岸周邊的不同地點也發現了克里特的文物，包括壁畫。很明顯，青銅時代的克里特畫家曾到各地旅行，恰如3000年后文藝復興時代的一位畫家所做的一樣：綽號為“希臘人”的格列柯（El Grcco，1541-1614），他出生于克里特，后來移居西班牙并成為那里最知名的畫家之一。值得注意的是，格列柯有一本維特魯維著作的巴爾瓦羅（Barbaro）譯本，他在書中的頁邊上批評這位羅馬建筑師將比例方法神圣化而提倡更加自由的構圖。

讓我們還是回到古代，克里特風格的壁畫后來在如下地區被發現：Avaris（尼羅河三角洲的Tell el-Daba地區），Tel Kabri（以色列海法以北，靠近Nahariya市），Qama（敘利亞胡姆斯市東部，現今的Tcll el-Mishrife）。其中Avaris的發現尤為驚人，因為在一幅壁畫上描繪著四個年輕人正從公牛身上越過。在此之前，這樣的圖畫沒有在克里特之外的地方被發現，更有趣的是，這幅壁畫的背景是迷宮的圖案。

埃文斯引進了“米諾斯文明”（Minoan civilization）這一術語，用來描述這個自公元前27世紀至公元前15世紀繁榮昌盛的文化（廣義一點可以前后延伸至公元前37至公元前1l世紀）。在這里，“米諾斯”一詞指傳說中的統治者。奇怪的是，這個詞里面有一個不太可取的“重復對稱”。有些學者，包括埃文斯本人，明確表示米諾斯并非人名而是一個頭銜，類似于我們使用的“國王“一詞。毫無疑問，埃文斯對考古和歷史做出了重大貢獻，但是我們也不能因此而掩飾他的一些錯誤。通過使用混凝土延伸克諾索斯宮殿的廢墟，他重建了宮殿的一部分，由此影響了后來的考古學家開展進一步的研究，也妨礙了考古學新方法的應用。他也制作了一些虛假的“作品”，比如在羽毛王子（或稱為百合花王子，大約繪制于公元前1550年）的例子中，埃文斯把三段屬于不同人物的壁畫殘片（王冠、軀干、左腿）粘結在一起，并通過現代繪畫方法將其擴大。實際上，今日游客們在克諾索斯宮殿看到的一些最有名的壁畫，在一定程度上是瑞士畫家吉列爾翁斯（EmileG-illierons）父子的再創作[Gere，2009]。最后一點，但并非最不起眼的一點，埃文斯推延了很大一部分陶符的公布；實際上，他的第二卷在有生之年沒有出版，從而導致相關的研究在長時間內無法進行[Evans，1901，1952]。

可惜的是，克里特的象形文字和A類線型文字還沒有被破解，其代表的語言也不為人所知，或許它們與米諾斯島上一種失傳的語言有關吧？另一方面，B類線型文字于20世紀50年代被英國建筑師文特里斯（Michael Ventris，1922-1956）——英年早逝于一場意外事故，以及英國語言學家和二戰時的密碼破譯員查德維克（John Chadwick，1920-1998）所破譯：其中隱含的語言是希臘語的一種早期形式，后來被稱為邁錫尼希臘語。文特里斯第一篇印刷論文有一個非常引人注目的標題：“破解歐洲最早的文字”。查德維克等人在題為“B類線型文字揭秘”的文章中，將克諾索斯陶片上可辨認的文字翻譯出來并公諸于世[Chadwick et al，1971]。

讓我們從對稱這一角度來考察克里特的藝術。我們發現，具有禮儀意義的塑像通常是鏡面對稱的，最好的例子或許就是持蛇女神（約制成于公元前1600年）：裸露雙胸的女人兩手各持一條盤卷的蛇，她的雙手和衣服上的圖案突出了對稱的效果，而其頭頂的一只貓一埃文斯認為是頭小母獅一則并非對稱形態。此外，很多表現人體自然形態的塑像也都不是對稱的，大部分的刀和斧子幾乎是完全對稱的，陶器上經常裝飾有重復的軸對稱圖案。

關于具有鏡面對稱的建筑布局，我在那本長達400頁的綜合性專著《克里特的考古》[Pendlebury 1939]中只找到了三處，而非鏡面對稱的整體設計則有24處。三個具有鏡面對稱布局的建筑物分別是：位于Zapher Papoura屬于米諾斯文化后期的一座墓穴（Pendlebury書，圖41），位于Vrokastro的一座圓形墓穴（同書圖46），以及在Prinias的一座古廟（同書圖51）。的確，在某些宮殿中有一些對稱的廳堂，但是沒有在整個設計布局上采用。在一定意義上，米諾斯人似乎預見到了19世紀法國建筑師杜克（Viollet-le-leue）的主張：“為了對稱這個不幸的概念，我們在自己的家里犧牲了舒適，間或也會棄常識而不顧，而且總是耗費大量金錢”。

四、克里特神話、迷宮和米諾陶

在希臘神話中，眾神之首的宙斯在克里特長大。他后來誘拐了腓尼基國王的女兒歐羅巴，后果就是米諾斯降生并成為克里特的國王。米諾斯生了很多孩子，包括一個名為阿里阿德涅（Ariadne）的女兒。到此我們立刻可以聯想到“阿里阿德涅之線”，指的是逃離迷宮的途徑，亦即解決困難問題的方法。神話還涉及一個叫代達羅斯（Daedalus）的巧匠，他為米諾斯建造了一個迷宮，目的是困住牛首人身的怪物米諾陶（Minotaur）。米諾陶在希臘語中的意思就是米諾斯的牛，這個怪物并非米諾斯的孩子，而是其妻與一頭公牛交媾所生，后者是由海神波塞冬派來懲罰米諾斯的。順便提一下，米諾斯的妻子帕西法厄（Pasiphae）是太陽神赫留斯（Helios）的女兒，而牛首人身怪物的原名為阿斯忒里翁（Asterion），意思是眾星之王，這樣神話就附上了宇宙學的含義。這個故事深深植根在希臘文化中，以至于deadalus成了一個名詞，帶有“迷宮”和“巧匠”的意思，而形容詞labyrinthine和deadalic則指棘手的處境。我們今天可以在世界各地找到deadalus這個詞的不同用法，比如美國藝術與科學學院的會刊就叫《代達羅斯》，而其徽標就是一個迷宮。

在兒子被人殺死在阿提卡半島之后，米諾斯襲擊了雅典，戰敗的雅典人只有求和，代價是每九年向米諾斯進貢七個少年和七個少女。第三次獻祭時，少年中混進了雅典英雄忒修斯（Theseus），這個年輕人很快便與阿里阿德涅墜入愛河，后者決心幫助他。最終忒修斯殺死了怪獸米諾陶并憑著阿里阿德涅給他的線團逃出了迷宮。

許多古代作者都描述了迷宮的故事。現存最詳盡的文字描寫可在阿波羅多洛斯（Apollodorus）編輯的一本神話故事集中找到，但是更好的一個版本是匯編于公元2世紀的《書庫》（Bibliotheca，3，1，3-4；3，15，7-8；and epitome 1，7-9）。之后許多作品都提到這個故事或其中的部分內容，比如出生于西西里的狄奧多羅斯（Diodorus Siculus，Bibliotheca Historica，4.61and 4，77）、斯特雷柏（Slrabo，Geographica，10，4）和普魯塔克（Plutarch，Vitae parallelae，Theseus，16，1and16，19）等人的作品中。忒修斯殺死怪獸的事跡也出現在許多古代的陶瓶、馬賽克拼嵌地板和其他藝術形式中。有趣的是，普魯塔克還把這一故事與舞蹈聯系在一起：

從克里特歸來的航途中，忒修斯在德洛斯靠岸。向神奉上祭品并把從阿里阿德涅那里得到的阿莢洛狄忒之像奉獻給神廟后，忒修斯與年輕人一起跳起7德洛斯的舞蹈，據稱舞蹈源于迷宮中旋轉的通道，由某種進退有序的不同格調組成的優美旋轉演變而來。

《希臘羅馬名人傳》。忒修斯21，1

我們可以假定這段描述講的是一種宗教舞蹈，與圣地——具體說就是迷宮——有關。盡管荷馬沒有提到過迷宮，在后面我們將會看到他談到了阿里阿德涅的舞蹈地板。克里特迷宮這個故事真是妙趣橫生，我們或許與它有著割合不掉的聯系，進而找到一條通向我們心中秘密的路徑，從而構成人類精神生活的重要一環。顯然這條路徑不是輕易就能找到的，沉思冥想必不可少。抵達迷宮中心的路被視為取得智慧的途徑。通常迷宮的形狀類似于螺旋，有一些繩結看上去也像迷宮。因為我們學會的簡稱是ISIS，我們需要注意古代埃及以及后來希臘和羅馬的女神伊西斯（Isis），其符號也是一個帶著魔力的繩結。克里特迷宮是米諾斯人進行人祭或儀式性殺戮的地方嗎？雖然有一群考古學家聲稱在克諾索斯、阿尼莫斯皮拉（Anemospilia）和佛諾闊里夫（Foumou Kodfi）遺址發現了一些證據，其他的考古學家則持不同意見。或許，在一個和平與和諧的社會中，那種做法不具代表性。但是后來的一段時間內，隨著野蠻部落的出現，殺戮有可能成為這類祭祀觀念的實踐活動。

至于牛首人身的怪物米諾陶，這一神話其實也暗示著當時發生的某些重要的社會政治變化。起初，克里特具有相對發達的文明，但是自從那個殺死怪獸的英雄忒修斯去了雅典并成為傳說中的王國創始人之后，牛首人身怪物就被視為反面形象，殊不知其最初的名字“眾星之王”代表著一個神圣光輝的角色，這可能意味著故事有雙重含義。雖然如同歷史一樣，經常被討論的一面往往是片面的，只代表新興統治勢力的意愿。實際上，米諾斯人早先得益于貿易，但是后來被侵入的邁錫尼人所征服，克里特遂在武士貴族階層的主導下發展。隨后的又一重要進步是雅典式民主制度的建立，當然由于其經濟建立在奴隸勞動的基礎上，這種城邦民主不能與現在的民主制度相提并論。順便提一下，兩種線型文字A和B也暗示著一個新勢力的入侵。因此，這個迷宮故事也是繁榮昌盛的米諾斯文明告終的預兆，而邁錫尼文明則在希臘本土開花，相繼由邁錫尼和雅典所代表。

當然，變遷不是在數年間完成的，而是經過了一個相當長的過渡階段，就如同傳說中提到的九年間隔，以及忒修斯隨同第三批祭獻者一起抵達所暗示的那樣。的確，大約在公元前1628年，離克里特不遠的錫拉（Thera）島上火山爆發，加速了米諾斯文明的衰退。最新的科學測定年代的方法，確定了火山爆發的準確年代，這可以使人們重新考慮一些歷史論斷。新的設想是，火山爆發后，米諾斯文明并沒有馬上土崩瓦解。顯然，島的很大一部分被灰燼掩埋，但是米諾斯文化在這個階段并沒有解體。

下表顯示站在不同立場上看待米諾斯神話的非對稱結果：

五、從克里特到匈牙利：擴散相對新考古（單中心相對多中心）

克里特還涉及很多重要的考古問題。令人匪夷所思的是，其中一些竟與匈牙利及其周邊的咯爾巴阡山脈或潘諾尼亞（Pannonian）盆地有關。那么就讓我們去匈牙利做個短途旅行吧。

提出“新石器時代農業革命”這一概念的英國—澳大利亞考古學家柴爾德（VGordon Childo，1892-1957），首先引進了史前文明擴散理論[childe，1925]。按照他的理論，擴展的起始中心在美索不達米亞和埃及，農業和其他技術就是從這些地方傳播到克里特。之后到達特洛伊和雅典的；這種勢頭繼續沿著多瑙河延伸直抵中歐，也部分地通過海路傳至南歐，并最終到達西歐。也就是：

美索不達米亞→安納托利亞→克里特→特洛伊→多瑙河流域→西歐埃及→克里特→邁錫尼→南歐→西歐

這個模型顯示克里特是第一個發達的歐洲文明，并強調了來自其他地區的影響。但是，放射性碳同位素測定法以及后來發展的其他校準方法的引進，造就了“新考古”，并否定了擴散理論中的很多元素。倫弗魯（Colin Renfl'cw）是這次運動的領軍人物，他給出了詳盡的研究圖景[Renfrew，1973]。他認為，克里特在文化上受到安納托利亞和埃及的影響比早前認為的要少得多[Cberry&Renfrcw，1972]。現在我們可以勾畫出一個多中心的文明演進模式。其中一些地區獨立地取得了類似的結果，同時我們也不應全盤否定傳播的可能性，不過該理論還沒有被普遍地接受。

這里我要提出一個稍微不同的問題：上述傳播模式中的箭頭可以翻轉過來嗎？對此我要先介紹一下匈牙利和喀爾巴阡盆地的一些有趣發現。傳播理論宣稱，文明沿著多瑙河流域傳播，到達匈牙利和喀爾巴阡盆地。托爾瑪（ZsofiaTorma，1832-1899）是最早的女考古學家之一，她的開創性工作向我們顯示了非常不同的圖景。她在不同的地點開展考古挖掘工作，發現了圖爾道（Turdas，Tordos）文明。該文明以特蘭西瓦尼亞的一所村莊為名，該地區當時屬于匈牙利，現屬羅馬尼亞。托爾瑪與特洛伊的發掘者和考古學的先驅施利曼有書信來往，而德國著名的人類學家、病理學家和史前學家菲爾紹（RudolfVirchow）也拜訪過她。即便如此，她的名字也沒有為更多的人所知曉，所以溫查（Vin～a）文明或圖爾道一溫查文明這個詞是在之后，也就是1908年在貝爾格萊德郊區的溫查地區發現類似文物之后才被叫響的。雖然托爾瑪在國際會議上發表演講，用匈牙利文和德文發表過若干論文并用德文撰寫了一本著作[Torma，1894]，她的發現長期以來沒有得到應有的重視。重要的是，她暗示了溫查、特洛伊和美索不達米亞三個地區發現的史前符號之間具有可比性。在1882年2月9日寫給她的一封信中，施利曼確認她所收藏的文物里的符號標記看上去是文字。在1961年三塊塔爾塔里亞（T6rt6xia）陶板出土引起的轟動中，托爾瑪的工作被重新發現。陶板的發現者是伏拉薩（Nicolac Vlassa）。年代則被確定為公元前5500—5300年之間，當然并非毫無爭議。不幸的是，挖掘的過程沒有被準確地記錄下來，陶板上的字符也沒有立即得到解讀[Makkay，1990]。有一些學者認為陶板上的符號是原始文字，即可能是目前所發現的最古老文字；而有的學者則持反對意見。前面引用過的《米諾斯人：銅器時代的克里特》[Hood，1971]一書的作者霍德（Sinclair Hood），發表了三篇論文（Antiquuty，41[1967]，99-113 and 47[1973]，148-149；Scienafic American，218[1967]，5：30-37）專門討論特爾特里亞陶片。他認為這些陶片上的刻符或許不是文字，但也暗示了克里特文化中確有與這些符號相似的地方。

美索不達米亞和溫查新石器時代的符號（原始文字？）之間也存在著有趣的類似性，我推薦從對稱這一視角來研究這些符號。一個很好的起點是馬凱（JanosMakkay）的文章，他在文中對比了數以百計的溫查符號和美索不達米亞符號并將它們分成38類[Makkay，1969]。大多數符號為左右對稱，但是也有2，4、6向旋轉對稱的例子。還有一個溫查符號，上面有基于8向旋轉對稱的萬花筒般的圖案（Type A22，No，33）。更有趣的是，一個螺旋形的迷宮（Type B18，No，12）與一種美索不達米亞的符號甚為相似。毫無疑問，在溫查文明中有豐富的符號組合。反對溫查符號是原始文字的人爭辯道一不同于美索不達米亞和克里特——沒有考古證據說明那里的經濟發展到需要復雜的數據儲存形式的地步，即我們所指的語言。實際上，即使從經濟發展這個角度來看，托爾瑪的書名也是很機巧的——《類比民族志：有關宗教儀式及其發展的歷史》，從辯論的角度來看也是合理的，因為她把自己的發現當作溫查和美索不達米亞之間的一個有趣的類比。這樣，她就把問題留給了后代的研究者們。

值得我們注意的是，匈牙利的藝術家和學者指出克里特和喀爾巴阡盆地傳統中有許多相似之處，包括幾乎帶著新藝術色彩的花紋圖案和意義非凡的白色公牛。在克里特的例子里面，我們曾討論過希臘神話中的白色公牛。匈牙利的taltos-詞與薩滿巫師意思相近，但不完全一樣，它具有在戰斗中變形為牛——大多數情況是白牛——的能力。Taltos通常又與數字7聯系在一起，這也與克里特神話和其他傳統相似。因此，taltos經常是家庭里面的第七個孩子，并且其超自然的能力在7歲時形成，等等。如果我們在匈牙利的灰色牛群中搜尋，不難找到個別呈銀白色的公牛。注意，牛犢子通常是微紅色的，這正好與克諾索斯壁畫中那個大名鼎鼎的、其上有雜技演員躍過的紅牛一致。最后，我們可以指出一些類似的名稱，比如喀爾巴托克（Karpatok，喀爾巴阡盆地周圍的山脈）與卡爾巴斯（Carpathos，靠近克里特的一個島嶼）。但是我們不要過深地陷入語言的迷宮，還是通過幾個問題回到文章的中心話題上來吧。

六、與迷宮有關的其他幾個問題

1，克里特迷宮在哪里？

按照荷馬的說法，米諾斯的宮殿坐落在克諾索斯，代達羅斯為阿里阿德涅在那里修建了一個舞廳（《奧德賽》19，172-179；《伊利亞特》18，590-594）。不過他在書里沒有提過迷宮。生于西西里的希臘歷史學家狄奧多羅斯稱“克里特的迷宮已經完全消失，不管是由于某個統治者將其夷為平地還是因為時間的怪獸將其吞噬”（Bibliotheca Historica 1，61）。不幸的是，詳細描述迷宮故事的偽阿波羅多洛斯（Pseudo-Apollodorus，約2世紀）沒有明確指出迷宮的具體位置。另外一些作者（Philostratus，Pseudo-Hyginus，以及Pausanias）則稱迷宮在克諾索斯。現在克諾索斯是伊拉克利翁郊區的一個考古場所和觀光景點，人們普遍認為這所帶有迷宮結構的宮殿和其中的公牛壁畫可能就是迷宮的所在，或者起碼能夠啟發人們編造那個神秘故事的靈感。“迷宮”（1abyrinth）這個詞可能指代整個宮殿，也可能指其中的一部分。從另外一方面考慮，將一個危險的生物（肯定不是米諾陶，而是某種危險的動物或者人）放在離國王和權貴咫尺之遙的宮殿里，這也是不現實的。因此產生了其他的建議：如果的確存在迷宮這種建筑物的話，囚禁危險生物的迷宮可能在其他地方，這似乎更合乎邏輯一些。

讓我們回到刻有B類線型文字的陶片，看看能否找到與迷宮相關的痕跡。幸運的是，這里有一塊陶片（編碼是KN Gg 702）可能對我們的探索有益。

這里重要的一個詞由第二行左端的五個字符組成，在右邊的圖中這個詞被放大，它被解讀為da-pu2-ri-to-jo，很多學者認為這個詞指的是“la-by-rin-tho”，也就是迷宮labyrinthos。整句話的意思則是“給迷宮里的女士（女神）奉上一個盛滿蜂蜜的雙耳瓶”。注意，蜂蜜是以象形文字的形式在兩行文字的右端呈現的。

很多研究者就這塊可能與迷宮有關的陶片展開了討論，但我首先推薦最近發表的一部英、希雙語的著作，作者是歐文斯（Gareth Owens），書名為《迷宮：克里特和邁錫尼的文字和語言》[Owens，2007]。

2，它與雙刃斧有關嗎？

有趣的是，另外一塊陶片描述了類似的供奉物——油。這塊陶片是在或許以代達羅斯命名的廟宇或者庇護所里制作的（da-da-re-jo-de，tablet KN Fpl+31，line3）。有趣的是，在Paleolexicon里我們也可以找到da-da-re-jo-de一詞：http：//www.palaeolexicon.com/default，aspx？static=12&wid=347048。但是，這塊陶片上沒有文字提到代達羅斯修建迷宮的事。

在此，我們可以提出許多問題。那位女士為什么會在迷宮里面？雙耳瓶是如何供奉給她的？或許，身處迷宮是一種懲罰，在里面不容易見到人。對這種情況的可能解釋是女士所處的地點并非我們后來所理解的迷宮，而是一個雙刃斧狀的對稱宮殿。而labrys這個詞來自于安那托利亞西部的呂底亞（參見普盧塔克）。實際上，在克諾索斯和克里特的其他地點也發現了很多呈鏡面對稱的雙刃斧及其圖像。埃文斯以及后來的很多學者接受了這個詞來源于小亞細亞的說法。但不管怎樣，這不表明迷宮肯定在克諾索斯。比如，歐文斯就提出了一個引人矚目的新觀點，強調迷宮即是雙刃斧的所在，從而將注意力指向發掘出很多雙刃斧的阿卡羅科林洞（cave of Arkalochori）。

根據赫伯格（Charles F.Herberger），以上這幅壁畫具有歷法功能。注意圖中出現了斐波納契數列：1、2、3、5、（8）、13，甚至導致數字產生的加法規則。關于這一圖像的解讀也可參照鄧普西（JackDompsoy）的網文http：//www，crcgazottc.com/2008-12/minoan-calcltdar，php。

如何把a-ko-so-ne這個B類線型文字中表示“斧”的單詞，與Paleolexicon計劃中的labrys或者da-pu2-ri-to-jo在語音上聯系起來？我可以給出一個象形文字的聯系：a-ko-so-ne里面的第一個字符就像一柄雙刃斧。實際上，不是所有的學者都贊同“迷宮”這個詞與“雙刃斧”有關聯的，讓我們來看看另外一個可能吧。

3，迷宮是礦井嗎？

桑塔坎格力也提出了另外的看法，包括希臘語“迷宮”（1abra）一詞的語源，他認為可能是“樹叢”（grove），“洞穴”（hollow）或者“礦井”（mine）[santarcangeli，1967]。此書被一再重版（1988，2000）并被譯成包括匈牙利文（1970，2009）、法文（1974）、羅馬尼亞文（1974）、西班牙文（1997）在內的多種文字出版。

如果桑塔坎格力的推論成立，就意味著如果存在著米諾斯迷宮，它就可能在一個洞穴里面，這一點也曾被古希臘地理學家斯特雷波（Strabo，公元前1世紀）暗示過。這樣，我們可以得到與歐文斯類似的結論，雖然他的基于雙刃斧的出發點被否認。要知道，在克里特有上千個巖洞，其中很多具有類似迷宮的天然結構。桑塔坎格力還引用了其他的權威，包括古典文字學家也是榮格（Cad Jung）密切合作者的柯文依的著作。

遺憾的是，桑塔坎格力的意大利文著作沒有在英語國家中流行。其后的某些版本中，包括西班牙文和匈牙利文的版本，有一篇由意大利著名哲學家和歷史學家埃可（Umberto Eeo）撰寫的前言。

這一題材的標準英文文獻是馬修（w.H.Matthew）的《迷宮：歷史和演變》[Matthew，1922]。但是閱讀過這一文獻的多數讀者并不知道桑塔坎格力在準備撰寫自己的書的時候，曾訪問過馬修的遺孀及其女兒，并研究了馬修留下的資料，對這些資料他在自己書的前言中強調過。假如桑塔坎格力的著作有一個英文譯本，并且能與馬修的著作并排放在書架上就好了。幸運的是，克恩（Hermann Kern）新近有關迷宮的德語著作被譯成了英文[Kern，1982，2000]。

4，世界各地的迷宮

米諾斯文明衰退大約1000年后，迷宮的圖形出現在克里特的硬幣上。如下圖所示，這些錢幣的圖形都是同一類的。它們采用了古代米諾斯迷宮的圖案，還是新創造出來的圖像？對此疑問我們將在下文予以回應。無論如何，在包括許多數學著作在內的文獻中，“克里特迷宮”這個詞指的就是硬幣上的那種圖像。

除了左上角的那個圖案以外，克里特錢幣上的迷宮圖案皆為正方形，這很可能純粹出于美學上的考慮，因為圓中容方的設計更為顯眼。由于克諾索斯與特洛伊的發掘在時間上相隔不久，有一種誤解認為迷宮與特洛伊有關。當然，這兩個地方的居民可能存在種族上的聯系，但是有關迷宮的神話是克里特的，其后發掘的大量錢幣也是在克里特而不是在特洛伊。經過若干周折（迷宮式的周折？）之后，Caerdroia這一威爾士人對古代特洛伊的稱呼，在英國變成了“草地迷宮”（turflabyrinths）。或許，發音上相似的caer troeau（意思是“轉彎的堡壘”）可能為這個詞語的傳播添上翅膀。在山頂（twmpath）上修建迷宮，并以此作為儀式舞蹈的場所。克里特錢幣上的圖案大部分雷同且設計簡單。雖然傳統中的大部分元素已經丟失，twmpath dawns這個詞組卻幸存下來，本意是“集合起來跳民間舞”（字面翻譯的意思是“山頂或小丘上的舞蹈”）。

需要強調的是，克里特的迷宮，無論是真正存在的還是錢幣上的圖案，都不是最早的迷宮圖像。從史前時代開始，從西班牙到愛爾蘭的多個地區都出現了具有迷宮形狀的圖像，有的是石洞壁畫或者石雕。此外，也有跡象表明其他古老文明中也有真正的迷宮。就巴比倫和埃及來說，有兩位學者的重要著作值得參閱[Bohl，1935][Petrie，1912]。

埃及的迷宮有可能影響了克里特迷宮的修建。狄奧多羅斯描述過埃及國王門德（Mendes）的墳墓，聲稱里面有一座迷宮，之后他寫道：

有人說代達羅斯訪問過埃及，他羨慕埃及的建筑藝術，因此為克里特國王米諾斯建筑7一座迷宮，與埃及的速宮相仿。迷宮里面關著一頭怪獸，就是神話中傳說的米諾陶。（Bibliotheca Historica 1，61）

老普林尼（Plinius the Elder）也留下了類似的記述，并說薩摩斯島上的一個迷宮比克里特的迷宮更有名（HistoriaNaturalis 36，84-90）。

有趣的是。不僅克里特的統治者與迷宮有關，英國也有一個帶有傳奇色彩的迷宮，其用途與前者剛好相反。亨利二世（1133—1189）建造了一個花園式的迷宮，不是為了隔離危險的動物，而是為了隱藏其情婦羅莎蒙德（Rosamund Clifford）。但是，據說王后找到了這個女人并將其殺害。這一故事中關于犯罪的部分不是真實的，因為有證據表面羅莎蒙德死在修道院里，然而王后與她之間的斗爭或許是真實的，并成為膾炙人口的民間傳說，又激發了文學作品的創作。中國清朝的皇帝在北京的圓明園里也有個很大的花園，里面有被稱為萬花陣或黃花陣的迷宮。它修建于18世紀中葉，由花叢和高1，2米。總長1，6公里的磚墻構成。從迷宮中間的圓亭上面，皇帝可以在節日期間觀看嬪妃手持燈籠競賽（或許這是一個挑選天資聰明、身體健康的女子的好辦法）。1860年，在第二次鴉片戰爭中，英法聯軍將圓明園夷為平地。不過圓明園的遺址上還保存有那個花園的大半，迷宮也按原樣重建起來了。

在中世紀，迷宮樣的圖案被用來裝飾基督教堂，典型的如12一13世紀修建的盧卡大教堂（Lucca Cathedral）的墻上就有與克里特神話有關的裝飾，還有13世紀早期的夏特爾大教堂（Chartres Cathedral）、13世紀后期的亞眠大教堂（AmiensCathedral）的地板等。比如，在夏特爾大教堂的大廳地板中央有一個圓形的迷宮。直徑達12，9米。人們可以在圖案上行走。其作用或許是模仿朝圣者的心靈之旅，使得信徒無需長途跋涉就可以完成一段艱難的旅程。這也是鼓舞信徒追隨宗教領袖（忒修斯）的足跡，抵抗邪惡（如牛首人身怪獸）以走向上帝的道場。另外一方面，從迷宮中逃脫意味著自由，這也是阿里阿德涅對忒修斯之愛的象征，無論克里特和雅典之間的恩怨如何。

人體內也有迷宮一樣的器官：內耳的一部分，腸道系統、女性生殖器等。因此，嬰兒的降生可以被解釋為走出迷宮。在耳朵這個例子里面，迷宮（labyrinth）成了一個醫學術語，而耳朵感染被稱作labyrinthitis。梵文的術語kundalini，一個與婆羅門教中的神秘解剖術相關的詞，意思是“像蛇一樣蜷伏”，但是其可能的西方翻譯是“力量之蛇”。心理學里則有迷宮測試，以研究動物甚至人類的記憶和定位能力。這個題材對計算機科學和人工智能的早期發展也做出過貢獻。最后但并非最不重要的一點，在迷宮中找到最佳路線是一個重要的幾何學問題，對此我將在下一節里討論。

七、迷宮涉及的數學

1，迷宮的兩種寫法

我們來比較下面兩個單詞：labyrinth，嚴格來說意指一筆畫的系統，其抵達中心（或某個確定點）的路途是明確的）maze，通常意思是多筆畫的系統，有不同路途的選擇。

在日常英語中，表述“迷宮”的這兩個詞是可以互換的，但大多數其他語言中沒有類似的術語上的區別。不過，按照上面的定義強調兩者的區別還是一個不錯的選擇。順便提一下，在古代用法中，maze可做動詞，短語to he mazed意思是“被迷惑”（to be confused），這意味中世紀英語中的maze一詞與發狂和幻覺有關，真是不可思議！實際上，有人認為maze是由動詞anlazo（使吃驚）演變來的。我也欣賞賈米森（Jolm Jamieson）的說法，在他的蘇格蘭詞典里，maze這個詞用來描述鯡魚，表示鯡魚的數量為五百[Jamieson，1825]。

大部分克里特錢幣上的圖案是一筆畫的迷宮，而多筆畫的相對罕見。另一方面，將一頭危險的野獸關在一個一筆畫迷宮式的囚牢里是不明智的，因為這樣逃出去的可能性會比較大。因此，如果相信迷宮的傳說有一定的事實基礎，克里特人關押怪獸的迷宮應該是錯綜復雜的，而不是像錢幣上的迷宮那樣簡單。當然，鑄造帶迷宮圖案的錢幣與建造一座地道的迷宮在工藝上太相徑庭。

也有可能根本就沒有關押猛獸的迷宮，但是因為其他原因人們建造了簡單的迷宮，用于存儲、珍藏東西或組織迷信儀式等等。后來這種傳統通過牛首人身怪獸的故事得到解釋，而設計迷宮的方法則一代代傳承下來，最后在鑄造錢幣的圖案中得到升華。

在中世紀教堂圖案的例子里，迷宮的功能卻不盡相同。如果我們認可這些圖案是信徒前往圣地的象征，那么就應該只有一條通往中心的路徑。這樣一來，我們對這類圖案多是一筆畫的tabynnth而非多筆畫的maze這一事實，就不會感到奇怪了。但是在花園的例子里，多筆畫的迷宮更受青睞，因為順著唯一的路徑抵達迷宮中心再原路返回實在是煞風景的事。在這樣的花園里，人們有不同的選擇，就像人生中的大多數問題一樣。實際上，我們的世界更像多筆畫的maze，而非單筆畫的labyrinth。

但是如何創造一個簡單的迷宮呢？有什么竅門設計一個帶有平衡結構的迷宮嗎？一個可能的答案在下圖中給出。

在這里，我們看到一個“對稱-非對稱原理”。從一個對稱的圖案開始，使用一條弧線將其變成不對稱的。弧線不僅可以向右旋，而且可以左旋。如此循環往復，最終組成迷宮式的鏡像圖案。想一想我們在前文中引用的普盧塔克描述的忒修斯舞蹈，它“源于迷宮中旋轉的通道，由某種進退有序的不同格調組成的優美旋轉演變而來”。顯然，上面的設計方案可以通過模仿有關舞蹈的描述而得到。

如果還記得牛首人身怪獸的故事，我們將意識到任務應該在迷宮深處的某個中心地完成。但是，這個中心可能是一個具有特定屬性的點。比如，很多現代迷宮的目標中心就是離開這個系統的出口，也就是通過一個單行道的門進入迷宮，然后找到一條出路。我們在此使用的“中心”一詞，實際上指代一個特定的目標點。

2，迷宮與柯尼斯堡橋問題

很容易看出來，一筆畫迷宮（labyrinth）不可能是鏡面對稱的，除非在退化變形的例子中（現在我們僅僅考慮2維的例子）。反之，我們設想有一個鏡面對稱的一筆畫迷宮，那么它的中心應該在對稱軸上，否則迷宮就會有兩個中心。如果對稱軸之外存在一條通向中心的通道，該通道的鏡像圖就成了通向中心的第二條通道。這與一筆畫迷宮的定義相悖。因此，唯一的可能就是通道本身也在這條對稱軸上，其外絕無支路存在。如此一來，我們就只有一條筆直的通道，一頭是入口，而另一頭是迷宮中心。顯然，沒有人會認為這樣的構造是個真正的迷宮。

另一方面，在多筆畫迷宮（maze）的例子中，鏡面對稱卻不會被排除，明確1一點講，建造這樣的迷宮輕而易舉。讓我們考慮一個點和在平面上到達該點的路徑，在平面上經過指定的點作一條直線，然后依對稱軸作出其鏡像；再繼續作（互不交叉的）折線（及其鏡像），如此多次就能畫出一個簡單的封閉的路徑（及其鏡像），注意在該路徑與對稱軸相接的地方留一個“入口”，這樣就構造成了一個鏡面對稱的迷宮。

規劃城市觀光計劃時，一筆畫路線是否存在的問題時常會出現。顯然，人們應該盡量避免沿著同一條路折返，因為那樣既浪費時間又索然無味。柯尼斯堡橋問題就是一個出色的歷史典范，這座普魯士城市（現俄羅斯加里寧格勒）坐落在一條河的兩岸，包括河中的兩個小島，全城有七座橋將兩岸及小島連接起來。問題是，一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發點？所有的努力都是徒勞的，這個看起來淺顯的問題的答案是無解。具體來說，高產的瑞士數學家歐拉——或許沒有人有他那么多的學術論文證明不存在這樣的路徑。是不是這一數學結論激勵了后來的城市管理者建造了第八座橋呢？歐拉在離柯尼斯堡不遠的圣彼得堡工作了很長時間，并于1736年在那里發表了自己的結果。

歐拉不僅對柯尼斯堡橋這個特殊的例子饒有興趣，而且研究了一系列更廣義的街道或橋梁的節點（邊）相連的問題。問題是：在什么情況下可以建造一條環路，其起點和終點合一，而經由此路可以通過全部橋或者街道而不重復旅程？現在這種路線被稱作歐拉回路。通過現代術語，歐拉證明在一個平面圖中存在歐拉回路的必要條件是每個交點連接著偶數的邊（每個交點的度或階為一偶數）。他聲稱這也是充分條件，但沒有提供證明。這是開啟一門叫做圖論的嶄新數學領域的第一步。在貨郎擔問題中，我們面對的不是一個觀光客，而是一名推銷員或郵遞員，他將選取盡可能短的路線抵達給定的地點。在這類問題里面，推銷員可能繞過某條街或者某座橋，因為沒有必要走這些地方。該問題最初是由愛爾蘭數學家哈密爾頓（1805-1865）以趣味游戲的形式表述出來的；不過很明顯，它有很多實際的應用價值。對稱的貨郎擔問題要求任意兩點之間的距離在兩個方向上相等，換句話說，道路必須是雙向且條件全同的。無論如何，單向道路、交通阻塞、修路和其他許多問題都可以打破對稱，因此研究非對稱的貨郎擔問題是必要的。

3，如何在一筆畫或多筆畫迷宮中找到出路（迷宮算法）？

或許，數學期刊中關于一筆畫迷宮的首篇文獻是由德國數學家、物理學家和哲學家威納（Christian Wiener）撰寫的[Wiener，1873]。他也因解釋微粒在液體中的布朗運動以及厚達800多頁的哲學著作而知名。在這一著作中，威納提出了“正則性”（regularity）的現代概念，成為數學物理中的重要成果，對此可查閱拙作“理想和模糊的對稱；從難到易”[Nagy，1988]。

位置幾何（geometria situs）這個詞由歐拉引進并被威納采用，現在被稱為拓撲學。盡管威納論文標題表達的意思不夠清楚，文中第一句話還是闡述了它將討論的內容：下面將要解決的問題，也是至今還沒解決的問題是，如何從一筆畫迷宮中走出來？

威納闡述的方法可以稱為“順墻算法”，或者“左手（右手）法則”。在迷官人口處，我們用左手或者右手扶墻，然后使這只手不離開墻而前行。這是一個有趣的非對稱法則，因為我們必須只用固定的一只手。威納的論文里沒有任何圖示，但是很容易對這一法則給予有形的解釋：讓我們把墻“折”成一個環路，就可以很容易地看到沿著環路展開的正確通道。我們可以推測威納是受到德國數學家希爾霍澤（carHierholzer，1840-1871）的啟發而開展對迷宮研究的，后者第一個就歐拉的陳述給出了完整的證明，但是由于英年早逝，其工作在生前沒有發表。正是威納將希爾霍澤留下的論文加以整理，附在自己論文后面發表的[Hierholzer，1873]。

至于多筆畫迷宮，這里不是僅有一條途徑可以抵達中心而是存在多種可能的路線——找到一條抵達中心或特定點（可能是離開迷宮的唯一出口）的路線就會難多了。法國工程師垂謀（Charles Tremaux，1859-1882）為此提出了一種算法，由盧卡斯收入他的《數學娛樂》一書而得到傳播[Lucas，1882]，其要點是：

遇到以前未曾經歷的一個交叉路口，可走任何一條路，

遇到死胡同轉身往回走：

遇到以前到過的一個交叉路口，盡可能選擇一條未曾走過的路；

在這種情況下，假定每條路都已經走過的話，選擇一條僅走過一次的路：

如果所有的路都走過不止一次，就回到最后一次經過的交叉路口。

垂謀的方法是為首次進入多筆畫迷宮且對其結構不了解的人設計的。不管怎樣，還可能存在另外一些復雜的情況，例如人們對迷宮的構造已有一定的了解，但是需要找到一條具有特殊性質的路途，比如最捷路徑。

八、科學與藝術中的迷宮

在數學娛樂中，與迷宮相關的數學問題長盛不衰。在本文的參考文獻里，我列舉了多達五種語言的早期涉及此問題的書籍。令人興奮的是，英國數學家鮑爾（w w Rouse Ball，1850-1925）不僅花了一整章來討論迷宮問題，而且在自家花園里建造了一個多筆畫迷宮，這—點也寫進他的書里[Ball，1892]。加拿大幾何學家考克斯特（H，s，M Coxcter）是ISIS的名譽成員，他對鮑爾書的后來版本做一些修訂和擴展。沿著歐拉的足跡，柯尼希（D6nos K6nig）對圖論展開了初步探索。的確，他的《有限和無限圖論》是這一領域的第一部專著[Konig，1936]。令人有些驚異的是，這本德文書在半個多世紀后還被譯成英文，可見它的學術價值很高。

值得指出的是，如果多筆畫迷宮中沒有環路，它就相當于圖論中的樹。至此我們應該考慮一棵真正的樹的結構：樹干之上不斷長出新的枝干，每個樹干都獨立生長而不相互糾纏·從數學上講，樹就是一個沒有循環的圖。

在控制論的早期歷史、以及之后計算機科學和人工智能的發展歷程中，迷宮在計算機程序和簡單機器人（有時被稱作“智能鼠”）的測試領域發揮了重要的作用。起初，格子迷官被當作網格線上的方格和墻，機器人可以在臨近的單元格之間移動。信息論的先驅和被稱作“香農熵”的創造者香農（Claude E，Shannon，1916-2001）是最早探索這些問題的學者[Sharmon，1951/1952]。

相關的工作促進了應用數學和計算機科學突飛猛進的發展。迷宮算法以及其后諸如貨郎擔一類問題的發展，導致多種新的分支領域的出現，如線性規劃、算法理論、離散優化、神經網絡等。貨郎擔算法在多種領域中得到運用：從物流到微芯片設計，從生物信息到DNA測序。實際上，如同早期控制論的先驅們希望的那樣，這些方法在生物和社會系統中都派上了用場。

鼠和其他動物解決問題能力或記憶力的測試，經常會在特制的多筆畫迷宮里進行，以便觀察測試對象能否找到食物或水。近來，生物學家發現章魚具有在這種環境中找到方向的特殊本領。但是如果我們把更為復雜的海床與迷宮相比的話，就不會感到那么驚訝了。在迷宮實驗和迷宮療法方面也有很多的文獻資料。最近，迷宮類電腦游戲風靡一時，其目的是使人在緊張的生活中些許放松點節奏。

怪獸米諾陶和迷宮的話題也啟發了現代藝術家：從畢加索的版畫到渥林格（Mark Wallinger）布滿迷宮圖案的瓷磚，后者于2013年被裝飾在倫敦有著150年歷史的地鐵系統中的270個地鐵站里。1994年，日本的迷宮藝術家關三平（Sanpei Seki）在筑波市一個由ISIS協辦的會議上展出了他的相關作品，現在他又把自己的新作品帶到了克里特大會上。

在現代文學的例子里，可以列出很多作品來，但是現在我只提一位，那就是阿根廷作家和詩人博爾赫斯（Jorge Luis Borges，1899-1986），他對迷宮的特別興趣在一些短篇小說中表現出來，包括《兩個國王和兩個迷宮》（1939）、《不朽》（1947）和《星辰之屋》（1947）。

在前文中，我們不僅與牛首人身的怪物米諾陶，而且與克里特迷官中的傳奇星辰都“會過面”，它們構成了一個克里特錢幣雙面上的一對黑白對照的反對稱組合。這個事實也在提醒我們：存在兩種或多種不同的意見是好事，讓它們對稱地進入我們的視野吧，包括在本屆大會的討論之中。