淺議輔助性在“三線合一”應用中的策略

何克佐

【摘要】等腰三角形的“三線合一”性質在初中數學中占據了非常重要的地位，很多時候需要在圖形不全的情況下補全“三線合一”所在的基本圖形，然后應用“三線合一”，解決相關問題。常見的添加輔助線解題策略，一是構造等腰三角形，或構造三角形再證明其為等腰三角形；二是在等腰三角形條件下，做頂角的平分線或底邊上的高或底邊上的中線. 如果把握好輔助線在等腰三角形“三線合一”性質應用中的教學，學生才能熟練掌握“三線合一”， 更好地培養和發展學生的思維能力。

【關鍵詞】輔助性 三線合一

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）02-0121-01

等腰三角形的“三線合一”性質在初中數學中占據了非常重要的地位，是今后論證兩線段相等，兩角相等，兩直線互相垂直等結論的重要依據之一。常常需要在圖形不全的情況下補全“三線合一”所在的基本圖形，老師如果把握好輔助線在等腰三角形“三線合一”性質應用中的教學，把握好化歸思想方法的滲透，將有助于讓學生把握解題的關鍵，更好地培養和發展學生的思維能力，有助于學生突破解題的難點，探明解題的方法，從而幫助學生提高解決問題的能力，加強學生對直覺、猜想、演繹、類比、歸納、轉化等數學思想、方法的領會掌握，培養學生的探究能力和創新精神，全面提示數學素養。

一、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（簡稱為“等腰三角形三線合一”或“三線合一”）。

該性質實際上包含以下三個內容：

1.等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的中線和底邊上的高，即等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊。

2.等腰三角形底邊上的中線也是頂角的平分線和底邊上的高，即等腰三角形底邊上的中線平分頂角且垂直于底邊。

3.等腰三角形底邊上的高線也是頂角的平分線和底邊上的中線，即等腰三角形底邊上的高線平分頂角且平分底邊。

可見，只要有兩個條件：一是等腰三角形，二是三線有一，即頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高線中滿足一個，就可以應用“三線合一”進行推理應用。在許多問題中，根據條件需要補全圖形，補出另一個條件，這就需要做輔助線。

二、常見的添加輔助線解題策略。

策略一：構造等腰三角形，或構造三角形再證明其為等腰三角形。

例1.如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點F是CD的中點。

求證：AF垂直于CD

證明：連結AC、AD

∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED

∴⊿ABC≌⊿AED

∴AC=AD

∵點F是CD的中點

∴AF垂直于CD（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）

策略二：在等腰三角形條件下，做頂角的平分線或底邊上的高或底邊上的中線.

1.做等腰三角形底邊上的高。

例2已知：如圖，B、D、E、C在同一條直線上，AB=AC，AD=AE。

求證：BD=CE

證明：過點A做AH⊥BC

則AH為⊿ABC、⊿ADE

∵AB=AC，AD=AE

∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形底邊上的高線平分底邊）

∴BH-DH=CH-EH

即 BD=CE

2.做等腰三角形底邊上的中線。

例3.在⊿ABC中，AB=AC，D是AB的中點，DE⊥AB，DF⊥ACM，垂足分別為E、F，觀察DE與DF的數量關系，并證明你的結論。

解：DE=DF，理由如下：

連結AD

∵AB=AC，D是AB的中點

∴AD平分∠BAC（等腰三角形底邊上的中線平分頂角）

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

歸納：連結AD，由條件D是AB的中點，則AD就是等腰三角形底邊上的中線，根據“三線合一”得AD就是等腰三角形ABC頂角的平分線。

3.做等腰三角形頂角的平分線。

例4.在⊿ABC中，AB=AC，D是AB上一點，延長CA至E，使AE=AD.試確定DE與BC的位置關系，并證明你的結論。

解：DE⊥BC，理由如下：

（一）做∠BAC的平分線AF，則∠1=∠2=■∠BAC

∵AE=AD

∴∠E=∠3

∵∠BAC=∠E+∠3

∴∠E=∠3=■∠BAC

∵∠1=∠2=■∠BAC

∴∠1=∠3

∴AF∥DE

∵AB=AC， AF是∠BAC的平分線

∴AF⊥BC

∵AF∥DE

∴DE⊥BC

（二）做∠DAE的平分線AF，并延長ED交BC于G

解法略。

綜上所述，常見的添加輔助線解題策略，一是構造等腰三角形，或構造三角形再證明其為等腰三角形；二是在等腰三角形條件下，做頂角的平分線或底邊上的高或底邊上的中線。如果把握好輔助線在等腰三角形“三線合一”性質應用中的教學，學生才能熟練掌握“三線合一”，運用它進行證明或計算，豐富關于線段線段、角相等、直線垂直等推理的方法和技巧，更好地培養和發展學生的思維能力、探究能力和創新精神，全面提高數學素養。

參考文獻：

[1]2013版人教版義務教育教科書數學八年級上冊

[2]義務教育教科書（人教版）數學配套綜合練習（八年級.上冊）