淺析分式求值中常用的幾種方法

張貴平

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）02-0142-02

分式的有關概念和計算是新課程改革后中考的必考內容，由于這一章牽扯的知識點較多，對綜合運用知識的能力和計算要求更強，特別是分式求值問題在中考中出現的頻率較高，分值較大，方法靈活多樣，學生對這部分知識考試中失分現象較嚴重，怎樣提高學生對這部分內容的綜合運用能力，靈活準確解答這類題目。通過這幾年我連續代初三畢業班及對本章知識在整理復習過程中，我覺得掌握一定的解題技巧，仔細分析題目特征，選擇合適的方法是解決的關鍵。現把分式求值中常見的解題技巧歸納如下：

一、根據運算法則，先化簡后代入求值

例：先化簡代數式■+■÷■，然后選取一個使原式有意義的a的值代入求值。

分析：本題是考察學生對分式的四則運算能力和分式有意義的條件的掌握，提高學生的計算和解決問題的能力，但是在化簡以后代入求值時，部分學生對a的取值沒有考慮，這里a不能取0，1，其他都可以，否則分式無意義。

解：■+■÷■=■+■÷■=■

把a=2代入原式得：原式=■=■=2

二 、整體代入法

八年級配套練習中有一道題： 若■+■=■，你能計算■+■的值嗎？

分析：此類題型學生看到以后，不知從哪下手。教師引導學生可以試著先將已知條件和所要求值的分式進行變形，然后對照變形后的這兩個式子，明確解題思路為把變形后的已知條件直接代入變形后的分式即可進行求值。

解：∵■+■=■∴■=■

ab=（a+b）2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=-ab

而：■+■=■把-ab=a2+b2代入上式中得：原式=■=-1 變式練習：已知■-■=3，求■的值。

分析：本題解法與上題一樣，都是先把已知和所求的式子分別變形后再把變形后的已知條件代入即可。

三、 k值法

1.直接設k值法

例：已知■=■=■求■的值。

分析：本題已知條件是以連等式的式子出現時，在看到這樣的已知條件時，利用設k值法更為簡便，注意本題中由2（a+b+c）=k（a+b+c），求k值時不能直接將方程兩邊同時除以（a+b+c），否則會漏解。

解：設■=■=■=k則：b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck

∴b+c+c+a+a+b=k（a+b+c），2（a+b+c）=k（a+b+c）

所以：k=2或a+b+c=0而：a+b+c=0，∴b+c=-a

把其代入b+c=ak中∴k=-1原式=■=■

∴當k=-1時，原式=-1；當k=2時，原式■

2.巧選連比后用k值法

x+y+z=0（1）

例： 已知：ax+by+cz=0（2），（a，b，c是互異實數）求：■的值。

分析：本題給出的已知較復雜，但是仔細觀察和分析，發現把（1）（2）兩式變形消去后可出現連比式，故用k值法較好。

解：把（1）×a-（2）得（a-b）y+（a-c）z=0

∵a≠b，c≠a∴■=■，同理可得■=■

∵yz≠0∴設y=k（c-a），z=k（a-b），x=k（b-c）代入即可求值。

四、利用公式變形求值

例：已知x2-3x+1=0，求x4+■的值。

分析：本題引導學生從結論分析，發現代數式中的兩項互為相反數，根據互為相反數的性質以及x+■與X2+■之間的關系要用完全平方公式來連接，熟練地應用變形公式，可給解題帶來極大的方便，從而降低了問題的難度。

解：由x2-3x+1=知x≠0，由此得x+■=3

∵x2+■x+■2-2=32-2=7∴x4+■=x2+■2-2=72-2=49

五、主元法

例：已知xyz≠0且3x+2y-7z=0，7x+4y-15z=0，求：■

分析：本題把等式中的某一個未知數如z視為常數，解方程組得出x=z，y=2z再代入所求的式子即可求出值。

六、常值換元法

例：已知ab=1求■+■的值。

分析：本題由于ab=1，所以在求分式的值時通分后把ab用常數1代替，從而使問題得到解決。

解：原式=■+■=■=■

=■=■=1

七、拆項相減法

例：已知a-1+（ab-2）2=0

求■+■+■+■的值。

分析：根據已知得出a-1=0 ab-2=0，∴a=1，b=2，然后再逆用分數加減法法則，將算式中的分數轉化為兩個分數之差，使得除首、末兩項外的中間各項都可以相互抵消，從而求出原式的值。

原式=■+■+■+■=1-■+■-■+■-■+■-■=■

由于給定條件求代數式的值的問題多種多樣，教師在這里不能一一枚舉。但是只要學生掌握了一定的方法和技巧，仔細分析題目給出的已知條件和所求的問題，靈活運用已有的知識，找出有利于更好更快的解決分式求值問題的方法。