問渠哪得清如許 為有源頭活水來

鄧盛

【摘要】在教學中，教師如何挖掘教材內涵，創設有利于培養學生思維能力的教學情境，增加數學課堂教學趣味性，引導學生積極主動參與課堂教學教學呢？本文通過三個課堂教學案例，分析研究如何增加課堂教學的趣味性.只要積極思考，勇于探索，相信你也能找出很多有趣的例子.正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，倘若教師從源頭上增加課堂教學的趣味性，學生肯定會樂在其中.

【關鍵詞】數學；課堂教學；趣味性

以學生的發展為中心，為學生提供良好的學習環境，使學生主動參與、積極探索、敢于創新的精神得到進一步的發展，這是新時代對數學教育的要求.在教學中，教師如何挖掘教材內涵，創設有利于培養學生思維能力的教學情境，增加數學課堂教學趣味性，引導學生積極主動參與課堂教學教學呢？下面，結合具體案例，談談如何增加數學課堂教學趣味性.

案例一 本人在講授“直線與圓的位置關系”這一內容時，為了增加課堂教學趣味性，引起學生積極參與，原創了一道有趣的例題，當這道題在教學平臺屏幕上出現時，同學們都驚嘆此題新奇有趣，同學們的參與熱情也空前高漲.具體如下：

例1 在一間屋子里，屋中擺一張圓臺，圓臺上有一盤剩雞肉，主人忘記放到冰箱中就去睡覺了，一只小老鼠發現后，就想辦法去偷吃，但由于直接爬不上圓臺，它發現墻邊平放著一條長木棍，木棍與圓臺同樣高度，于是就爬上木棍上，來回跑動尋求合適點想跳到圓臺上.現假設圓臺規格為1米大，邊環是圓（x-1）2+（y-2）2=14，木棍是直線l ：3x+4y+4=0，若小老鼠跳遠最遠距離為1.5米，請你猜猜小老鼠能否跳到圓臺上呢？

同學們一看到這道例題，頗感新鮮，就立即交頭接耳，積極參與，主動思考問題了.以后筆者再通過適當的分析點評，使學生很容易的就接受了這個知識點.

分析 此題實質是判斷圓心到直線的最短距離，若最短距離d減去圓半徑r所得結果小于小老鼠跳遠最遠距離為1.8米，就表明它可以跳到圓臺上.

解答 圓心到直線的最短距離

d=|Aa+Bb+C|A2+B2=|3×1+4×2+4|32+42=3.

圓的半徑r為12，d-r=3-12=1.5.

則直線到圓臺邊環最短距離為1.5米，而小老鼠跳遠最遠距離為1.8米，所以小老鼠能跳到圓臺上.

點評 此題易錯點為求出圓心到直線的最短距離d=3后，即得出d>1.8，推斷小老鼠不能跳到圓臺上，忽略還要減去圓半徑r.

在本人的引導分析講解過程中，學生們也聽得津津有味.而講完這道例題以后，我還針對上述材料，趁此機會和同學們幽默了一下：“你看小老鼠是不是很聰明呢？正是這樣，它們才能在地球上生存成千上萬年.以后你家的剩菜要放好了，不要浪費呀！”同學們都哈哈大笑，整節課都滲透著一種暢快和諧的氣息.

案例二 正、余弦定理應用是高中數學的一個重要內容，里面涉及很多應用題.學習這個內容后，筆者在一節復習課中，對正、余弦定理應用做了一個系統歸納復習，為了增加趣味性，我把這一節題的“課題”定為“海陸空大追擊——正、余弦定理應用”.從“海、陸、空”三個角度舉例，引導學生思考.同學們一聽到“海陸空大追擊”這幾個字，就來勁了，馬上集中精力看題目了.具體如下：

一、海上攔截

例2 我軍巡邏艇在雷達屏幕上發現在南偏西20°，20千米的海面上有一條敵方船只，它正以20千米/小時的速度向南偏東40°的方向逃走，已知巡邏艇的最大巡航速度為30千米/小時，并假設敵船在逃走時不改變它的航向，試問經過1小時能否追上敵船？

分析 記巡邏艇的初始位置為A，敵船的初始位置為B，兩者航向均不變，追截處記為C，需要時間為t小時.

解答 由圖可知：

在△ABC中，AB=20，AC=30t，BC=20t，

∠ABC=180°-20°-40°=120°，

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2?；AB?；BC?；cos∠ABC，

即（30t）2=202+（20t）2-2×5×20t×cos120°，

即5t2-t-4=0，得正數根t=1（小時）.

∴大約經過1小時能追上敵船.

點評 要解決這樣一個問題，我們首先要把語言文字轉化為數學模型.此題關鍵是會畫方位角.

二、陸地出擊

例3 如圖，我陸軍炮兵連在A處發現正北方向上有一敵軍裝甲車在B處以每小時30公里的速度朝它的正東北方向行駛，此時立刻發射遠程追擊炮，遠程追擊炮速度每小時50海里，且經過t小時后在C處擊中敵軍裝甲車，求遠程追擊炮發射方向與正北方向夾角α的余弦值.

分析 根據圖像，夾角α的正弦值可用正弦定理求出，進而可求出其余弦值.

解答 在△ABC中，∠ABC=135°，AC=50t，BC=30t，

利用正弦定理，得30tsinα=50tsin135°sinα=3210.

又∵α∈0，π2，∴cosα=8210.

點評 形數結合是解題常用方法，要懂得從圖形中找出有用數據.

三、空中摧毀

例4 據可靠情報資料，敵軍在我境內某高山頂處建立一個聯絡站，我空軍馬上派一戰斗機去摧毀它.已知戰機的飛行線路和山頂在同一個鉛直平面內，已知飛機先看到山頂的俯角為30°，山頂高度為海拔10003m（如圖），此時飛機高度為海拔30003 m，飛行速度為1440 km/h，若飛行員10秒后發射炮彈，問發射時飛行員與敵聯絡部的距離為多遠？

分析 畫出示意圖，由圖可知，若飛機飛到E處時發射，即求從E到C的距離.

解答 由題意得，AH=30003 m，CD=10003 m，HB=20003 m，HC=40003 m，而飛機的速度為1440 km/h，即400 m/s，10 s后飛行距離為4000 m，可得HE=4000 m.

由余弦定理得： EC2=HE2+HC2-2HE?；HC?；cos30°.=40002+（40003）2-2×4000×40003×32.

解得EC=4000.

答： 發射時飛行員與敵聯絡部的距離為4000 m.

點評 此題關鍵是弄清俯角的含義，另要注意要化成同一單位制來處理問題.

講解例題后，我還對以上材料做了一個簡短的愛國教育：同學們，你看我們的軍隊是不是英勇善戰之師呢？愛軍擁軍、熱愛祖國是我們每個人應盡的義務，同學們應當努力學習科學知識，振興祖國.想不到數學課堂上也能接受適當的愛國主義教育，學生們都樂翻天了.

案例三 對于“統計”這一章的內容，很多學生都感到陌生，不知如何是好.為了增加學生對此內容的認識，我設計了一個“課題”——如何“貨比貨”？具體如下：

同學們，有這樣一句諺語：“不怕不識貨，最怕貨比貨.”我們很多同學都喜歡“網購”，（同學們一聽“網購”兩字，覺得與自己生活息息相關，也就有興趣了）在選擇商品貨物時，常常用“貨比三家”來挑揀出較好的物品.很多貨物通過對比觀測就可知其好壞或優劣，但有時有些事物僅憑表面現象不能比較其優劣，還要深入研究分析才可以判斷出優劣.如何進行分析比較？如何作出科學的“貨比貨”呢？下面就通過兩個事例來分析：

例5 某養殖場為了了解其所養的長白型豬和大白型豬兩種母豬（以下分別簡稱長白、大白）的產仔數的情況，分別隨機抽測10頭經產母豬的產仔數，資料如下：

長白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13

大白：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7

根據上述樣本數據，比較哪個品種母豬產仔平均數較高？

分析 通過所給樣本數據，直接計算樣本平均數，由樣本估計總體.

解答 長白的樣本平均數為：x-1=（11+11+9+…+10+13）÷10=11.

大白的樣本平均數為：x-2=（8+11+12+…+10+7）÷10=9.2.

通過計算兩個樣本的平均數，可知長白型母豬產仔數稍高.

點評 用樣本平均數估計總體，有時會有偏差的.造成偏差原因之一是試驗誤差（或抽樣誤差）所引起的，為減少誤差，可適當增加樣本容量.

例6 （2007寧夏、海南文科卷12題改編）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表：

甲的成績

環數 7 8 9 10

頻數 5 5 5 5

乙的成績

環數 7 8 9 10

頻數 6 4 4 6

丙的成績

環數 7 8 9 10

頻數 4 6 6 4

從這次測試成績來看，哪個選手發揮較穩定呢？（注：高考試卷開頭已給標準差公式）

分析 要比較三名運動員射箭發揮的穩定性，應先比較平均數，若平均數一樣，再比較標準差或方差，表中的頻數是指出現的次數.

解答 ∵x-甲=（7+8+9+10）×520=8.5，

x-乙=（7+10）×6+（8+9）×420=8.5，

x-丙=（7+10）×4+（8+9）×620=8.5，

此時三名運動員的射箭平均環數一樣，則要通過計算方差來比較了，計算如下：

s21=5×[（7-8.5）2+（8-8.5）2+（9-8.5）2+（10-8.5）2]20

=1.25，

s22=6×[（7-8.5）2+（10-8.5）2]+4×[（8-8.5）2+（9-8.5）2]20

=1.45，

s23=4×[（7-8.5）2+（10-8.5）2]+6×[（8-8.5）2+（9-8.5）2]20

=1.05，

由s22>s21>s23得s2>s1>s3.

由上式可知，丙的方差最小，也就是說運動員丙射箭成績最穩定.

點評 當樣本平均數相同或較接近時，可以用樣本的方差或標準差來比較，方差或標準差越小，則說明越穩定.

最后，我用了這樣一些結束語來激勵大家：同學們，根據以上例子，你學會分析事物的本質了嗎？努力學習吧，你會成為一個優秀的分析師的，退一步來說，當不了分析師，也略懂養豬方面是長白型母豬較好一點，說不定以后養殖致富，會成為一個土豪呀.同學們哈哈大笑，課堂氣氛也頓時活躍起來了.

以上三個案例是筆者在平常的教學中，根據教材內容，深挖教材內涵，增加數學趣味性的例子.同一個教學內容，只不過換一個方式呈現出來，或通過三言兩語的調侃，就可以增加數學課堂的趣味性.只要積極思考，勇于探索，相信你也能找出很多有趣的例子.正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，倘若教師從源頭上增加課堂教學的趣味性，學生肯定會樂在其中，學習數學的興趣也會大大地增加.學習興趣增加了，數學成績自然會提高的.