對多邊形內、外角和的認識與運用

從課本中我們知道，多邊形的一個內角與它的外角共用一條射線，兩者既有區別，又有聯系. 最基本的區別就是概念不同，最基本的聯系就是兩者之和為180°. 下面從區別和聯系兩個方面來深入探討一下.

一、 多邊形的內角和

在推導多邊形的內角和公式時，用到了轉化的數學思想，將多邊形的內角和問題轉化成若干個三角形的內角和的問題.即從n邊形的一個頂點出發，可以引（n-3）條對角線，它們將n邊形分成（n-2）個三角形. 這（n-2）個三角形的所有內角拼在一起就是n邊形的內角和，從而得到n邊形的內角和是（n-2）·180°（n≥3）.

如圖1，六邊形可以分成四個三角形，所以六邊形的內角和就是四個三角形的內角度數之和：（6-2）×180°=720°.

例1 （依葫蘆畫瓢）九邊形的內角和是________.

【分析】直接利用公式解題：（9-2）×180°=1 260°.

例2 （方程思想） 一個多邊形的內角和是720°，這個多邊形的邊數是（ ）.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】已知一個多邊形的內角和，求邊數，可先設邊數，再根據內角和公式列出方程求解. 有些數學問題從形式上看雖然不是方程問題，但通過挖掘等量關系，可以轉化為方程. 同學們應在平時的學習中掌握并運用方程思想.

【答案】設這個多邊形為n邊形，則有：（n-2）·180°=720°，∴n=6. 選C.

二、 多邊形的外角和

在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角（每個頂點處有兩個外角），這些外角的和叫做多邊形的外角和.

n邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角都等于180°，n個外角連同它們各自相鄰的內角的總和等于n·180°，所以外角和為n·180°-（n-2）·180°=360°，即多邊形的外角和等于360°，它與邊數的多少無關.

如圖2，五邊形一共有10個外角，而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.

例3 （小試牛刀） 一個多邊形的每個外角都等于45°，那么這個多邊形的內角和為（ ）.

A. 675° B. 720°

C. 900° D. 1 080°

【分析】本題主要考查多邊形的內角和與外角和.由于已知多邊形每個外角均為45°，從而可知多邊形邊數n為360°÷45°=8，進而求出多邊形的內角和為（8-2）×180°=1 080°，故選D.

三、 兩者的聯系

例4 （“內”“外”兼修） 一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形是（ ）.

A. 四邊形 B. 五邊形

C. 六邊形 D. 八邊形

【分析】已知任意多邊形的外角和是360°，可知其內角和是720°，利用內角和公式（n-2）·180°=360°×2，得n=6，故選C.

【答案】C.

例5 （由“內”而“外”） 已知一個多邊形各個內角都等于150°，求這個多邊形的邊數.

【分析】本題可以有兩種方法：（1） 這是一道利用多邊形內角和求多邊形邊數的應用題.解題的關鍵是要明確多邊形各個內角相加即為多邊形的內角和.多邊形的內角和表示為（n-2）·180°的形式，由于所給多邊形的每個內角的度數都相等，所以多邊形的內角和又表示為n·150°，從而可列出方程求解. （2） 已知每個內角都等于150°，易得每個外角都是30°，再根據多邊形外角和為360°，可求出邊數.

【答案】方法一：設多邊形的邊數為n，由題意，得（n-2）·180°=n·150°，解得n=12，即這個多邊形的邊數是12.

方法二：由題意，得這個多邊形的每個外角都是180°-150°=30°，所以多邊形的邊數n=360°÷30°=12.

例6 （以“偏”概“全”） 已知一個多邊形的每一個內角都相等，且每一個內角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個多邊形的邊數.

【分析】（1） 因為多邊形的每個外角與和它相鄰的內角相加等于180°，根據題意，可先求出外角的度數，再求邊數；（2） 由于本題所給的條件是多邊形的內角與外角之間的關系，所以還可以轉化為這個多邊形的內角和與外角和之間的關系.

【答案】方法一：設多邊形的每一個外角為x，則它的每個內角為9x. 根據題意，得x+9x=180°，解得x=18°. 所以這個多邊形的邊數為n=360°÷18°=20.

方法二：設多邊形的邊數為n. 根據題意，得（n-2）·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個多邊形的邊數為20.

正確運用數學的轉化和方程思想，理解內角和與外角和的聯系與區別是學好本節內容的關鍵.

（作者單位：江蘇省海門市六甲初中）