思想引領，解題方便

眾所周知，思想是行動的指南，數學解題亦是如此，這句話在本章中體現得尤為明顯. 為了幫助同學們很好地復習這一章的內容，本文以近幾年的中考試題為例，詳細介紹幾個重要的數學思想在解題中的應用，供同學們學習時參考.

一、 分類討論思想

數學中的分類討論思想，也稱分情況討論，當一個數學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類.將一個數學問題根據題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合.分類討論是根據問題的不同情況分類求解，它體現了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法.分類討論思想不僅可以使我們有效地解決一些問題，同時還可以培養我們的觀察能力和全面思考問題的能力.

例1 （2013·山東煙臺）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內角和為720°，那么原多邊形的邊數為（ ）.

A. 5 B. 5或6

C. 5或7 D. 5或6或7

【解析】根據“一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形”可知，形成的新多邊形的邊數沒有說明白，那么，就要根據不同情況進行分類討論了.僅就五邊形為例，截去一個角后就有三種情況，可以得到四邊形、五邊形和六邊形，如圖1.

那么，對于本題，也是如此. 即設新多邊形的邊數為n，則根據多邊形內角和公式，有

（n-2）×180°=720°.

解得n=6.

然后進行分類：

①若截去一個角后邊數增加1，則原多邊形邊數為5；

②若截去一個角后邊數不變，則原多邊形邊數為6；

③若截去一個角后邊數減少1，則原多邊形邊數為7.

所以，多邊形的邊數可以為5， 6或7. 故選D.

【評注】本題考查了多邊形的內角和定理，分三種情況進行分類討論是解題的關鍵.

二、 整體思想

有一些數學問題，如果從局部入手，難以各個突破，但若能從宏觀上進行整體分析，運用整體思想方法，則常常能出奇制勝，簡捷解題. 整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構或整體特征，從而對問題進行整體處理的解題思想. 這種思想在初中數學中的很多方面有著很好的應用，因此，在每年的中考中涌現了許多獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用.

例2 （2013·泰安）如圖2，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于（ ）.

A. 90° B. 180°

C. 210° D. 270°

【解析】要求∠1+∠2+∠3的大小，不能分別求出它們各個角的度數，故可以將它們看作一個整體來求. 容易發現，∠1、∠2、∠3是這個五邊形的三個外角，然后聯想“多邊形的外角和為360°”，那么只需求出另外兩個外角（或它們的和）的度數即可.故延長后得到另兩個外角∠4和∠5，如圖3. 根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠4+∠5=180°，從而得到以點B、點C為頂點的五邊形的兩個外角的度數之和等于180°，最后根據多邊形的外角和定理即可解得.

【評注】本題從表面上來看，好像無法求解. 如果將∠1+∠2+∠3看做一個整體，再聯想多邊形的外角和定理，問題就很容易得到解決. 故用好整體思想，理清求解思路是解題的關鍵.

三、 方程思想

在本章的習題中，有很多利用設角、邊或邊數為未知數，利用題目中的等量關系建立方程來解決問題. 這種利用方程（組）來思考和解決幾何問題的思想就是方程思想.

例3 （2013·貴州省黔東南州）在△ABC中，三個內角∠A、∠B、∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B=_______度.

【解析】在三角形中，有內角和為180°，這是一個隱含條件. 一般地，要求∠B的度數，還需要兩個獨立條件. 可是題目中只給出了一個條件，那么，需要將這個條件做處理才能達到目的. 仔細觀察∠B-∠A=∠C-∠B可知，先將它整理得到∠A+∠C=2∠B，然后將∠A+∠C看作一個未知數，將∠B看成另一個未知數，于是可得方程組，則∠B可求.

解：60.

【評注】本題主要考查了三角形的內角和定理，求出∠A+∠C=2∠B得到方程組是解題的關鍵.

四、 數學建模思想

數學模型就是一種數學結構，它是使用數學符號、數學式子及數學關系對現實原型作一種簡化而本質的刻畫. 數學模型方法是把所要解決的實際問題，轉化為數學問題，求解數學問題，使實際問題得以解決的一種數學方法. 數學建模思想方法作為數學的一種基本方法，滲透在初中數學教材的各個知識板塊當中，在本章中也不例外. 同學們學習掌握這種思想方法是完成學習任務和繼續深造學習必備的基本能力.

例4 （2012·江西省）如圖4，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線（ ）.

A. a戶最長 B. b戶最長

C. c戶最長 D. 三戶一樣長

【解析】根據平移的性質，將電線中橫的和豎的線段分別進行平移，便可直觀觀察到都是相等的，如圖5. 因此a、b、c三線長度相等. 故選D.

【評注】對實際問題，我們可以采用數學建模思想，將實際生活中的電線想象成一些平行的線段.那么，這個實際問題就變成了比較這三組線段的長度了.再聯系平移的有關性質，就可以解決這個數學問題，進而達到解決這個實際問題的目的.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初級中學）