談“冪的運算”中的整體代入法

七年級下冊蘇科版數學教材第50頁例2（2）：計算：（a3）3·（a4）3. 今天我們就從這道小計算題說起，一起探究冪的運算中整體代入求值法的使用.

一、 解題方法

解法一：（課本提供的解法）

【解析】教科書上的解法中首先運用了冪的乘方公式（am）n=amn，然后應用了同底數冪的乘法公式am·an=am+n.

解：（a3）3·（a4）3=a3×3·a4×3=a9·a12=a9+12=a21.

解法二：（學習完積的乘方后可以使用）

【解析】積的乘方公式為（ab）n=anbn，觀察題干發現兩部分都含有3次方，逆用公式anbn=（ab）n得：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3，再應用同底數冪的乘法公式和冪的乘方公式即可得到結果.

解：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3

=（a3+4）3=（a7）3=a21.

二、 整體代入法

對課本例題稍加變化有下面例題：

例1 若已知a3=2，求（a3）3·（a4）3的值.

【解析】以現有知識，已知a3=2，無法求出a的具體值，但式子化簡的結果為a21，逆用冪的乘方公式（am）n=amn可得a21=a3×7=（a3）7，此時可以把a3看作一個整體，代入后即可得到結果.

解：（a3）3·（a4）3=a21=（a3）7=27=128.

除此之外本題還有其他的處理方式：

我們知道（am）n=amn，而（an）m=amn，所以（am）n=（an）m，因而（a4）3=（a3）4，原式可以變化成（a3）3·（a3）4，此時把a3看作一個整體進行同底數冪的運算可得：

（a3）3·（a3）4=（a3）3+4=（a3）7，此時再把a3=2代入即可得到答案.

解：（a3）3·（a4）3=（a3）3·（a3）4

=（a3）3+4=（a3）7=27=128.

無論用哪種方法處理例1，最終都是把a3看作一個整體進行代入求值. 像這種把一個式子看作一個整體代入求值的方法，我們稱之為整體代入法.

三、 變式訓練

通過第二部分的閱讀，我們已經知道了什么是整體代入法，并對整體代入法有了初步的了解，下面通過變式訓練來鞏固對這種方法的應用.

例2 若ax=2，ay=3，求ax+y的值.

【解析】同底數冪的乘法公式為am·an=am+n，逆用公式可得：ax+y=ax·ay，把ax=2，ay=3整體代入即可得到答案6.

變式1：若ax=2，ay=3，求ax-y的值.

解：ax-y=ax÷ay=2÷3=.

變式2：若ax=2，ay=3，求a2x+3y的值.

【解析】逆用同底數冪的乘法公式可得：a2x+3y=a2x·a3y，如果求出a2x與a3y的值，問題就迎刃而解了. 逆用冪的乘方公式可得a2x=（ax）2=22=4，a3y=（ay）3=33=27，所以a2x+3y=4×27=108.

變式3：若ax=2，ay=3，求a2x-3y的值.

解：a2x-3y=a2x÷a3y=（ax）2÷（ay）3=22÷33=.

變式1與變式2是關于冪的運算的綜合運用，其中不僅涉及整體代入法的處理，也考查大家對公式的熟練程度，特別是公式的逆用，要常記心頭.

四、 拓展提高

例3 已知2x+3y=7，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】有了前面的整體代入法的鋪墊，同學們再解決這個問題就比較容易了，把2x+3y看作一個整體，a2x+3y=27=128.

拓展1：已知2x+3y-7=0，a=2，求a2x+3y的值.

拓展2：已知4x+6y-14=0，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】對于拓展1，由2x+3y-7=0可以得出2x+3y=7，即轉化成例3.

對于拓展2，在等式4x+6y-14=0的兩邊同時除以2得到2x+3y-7=0，可以得出2x+

3y=7.

如果直接呈現拓展2，題目的難度是比較大的，難題只不過是從最簡單的題目變化而來，學會把復雜的題目轉化為簡單題目是解決問題的關鍵.

拓展3：已知m+n-1=0，x=5，求x2m+3n的值.

解：因為m+n-1=0，等式兩邊同時乘2得：2m+3n-2=0，所以2m+3n=2，所以x2m+3n=

52=25.

我們從課本上的例題出發，重點談了整體代入法的使用，這只是冪的運算中的幾個例題，在以后的學習中大家還會遇到很多的可以利用整體代入法解決的題目，同學們要注意積累經驗，提高能力.

（作者單位：山東省青島市嶗山區第三中學）