感受“冪的運算”中的思想方法

冪的運算是代數演算的重要基礎，同學們在掌握冪的各種運算法則的同時，還要深入理解其中蘊含的數學思想. 下面請同學們賞析幾道經典例題.

一、 轉化思想

例1 已知am=2，an=3，ap=6，求a2m+n-p的值.

【分析】本題的關鍵是利用同底數冪乘除的性質，把所求的式子轉化為與已知條件有關的式子，再代入求值. 我們可以用兩種方法思考：

解：解法1：a2m+n-p=a2m×an÷ap=（am）2×an÷ap=22×3÷6=2.

解法2：由am=2，得（am）2=22=4，

∴a2m+n-p=（am）2×an÷ap=4×3÷6=2.

【點評】解法1是逆用冪的乘方性質和同底數冪的乘法、除法性質，直接將a2m+n-p轉化為同底數冪的乘除混合運算，基本思路是從目標出發，回歸已知條件；解法2是從已知條件出發，構造出求值式中有關的a2m，再根據同底數冪的乘法、除法性質轉化，化求值式a2m+n-p為（am）2×an÷ap，基本思路是由已知條件向目標轉化.

例2 已知a=348，b=436，c=724，則它們的大小關系為（ ）.

A. b>a>c B. a>c>b

C. a>b>c D. c>b>a

【分析】本題不能通過直接計算結果再比較大小，可以通過逆用冪的乘方的性質，把不同指數的冪化成相同指數的冪，再比較底數的大小.

解：因為a=348=（34）12=8112，b=436=（43）12

=6412，c=724=（72）12=4912，且81>64>49，所以a>b>c，故選C.

【點評】對于無法計算結果的冪的運算大小比較，如果指數有相同的公約數，可考慮轉化為相同指數的冪.

二、 方程思想

例3 已知32·9x=729，求x的值.

【分析】已知等式的兩邊不是同底數的冪，所以先考慮將它們轉化為同底數的冪，再構建方程求出未知數的值.

解：解法1：因為32·9x=729，所以32·32x=

36，則2x+2=6，解得x=2.

解法2：因為32·9x=729，所以9·32x=729，則32x=81=34，則2x=4，解得x=2.

【點評】求指數中的未知數時，通常情況下運用“同底數冪相等，則指數相等”來構建方程解未知數.

三、 整體思想

例4 已知2m-3n+1=0，求9m ÷27n的值.

【分析】所求式子中的9m與27n并不是同底數冪，但可逆用冪的乘方法則轉化為以3為底的冪相乘的形式，然后整體代入求值.

解：由已知2m-3n+1=0，得2m-3n=-1，

所以9m÷27n=（32）m÷（33）n=32m÷33n=

32m-3n=3-1=.

【點評】解決不同底數的代數式的求值問題，關鍵是將所求值的代數式化為同底數冪的形式，有時需把某個代數式變形后看作整體代入求值.

四、 分類討論思想

例5 已知（2x-3）x+1=1，求x的值.

【分析】本題應對底數和指數的各種情況進行分類討論：一是指數為0且底數不為0，二是底數為1時指數為任意數，三是底數為-1時指數為偶數.

解：本題分三種情況進行分類討論：

（1） 因為任何非0數的0次冪都是1，所以有x+1=0且2x-3不為0，解得x=-1；

（2） 因為1的任何次冪都是1，所以有2x-

3=1，解得x=2；

（3） 因為-1的偶次冪都是1，所以有2x-

3=-1且x+1為偶數，解得x=1.

綜上討論，x的值為-1、2、1.

【點評】涉及有關底數為1的冪或0次冪問題時，有時要利用分類討論思想逐一考慮各種可能性. 要做到按照同一標準分類，不重復、不遺漏.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學東部分校）