折出來的驚奇

蘇科版七（下）教材第42頁上第19題是一道關于三角形折疊的角度猜想驗證的問題，問題如下：

如圖1，將△ABC紙片沿著DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內點A′的位置，探索∠A與∠1+∠2的數量關系，并說明理由.

在研究這個問題時，我們可以分別測量∠A與∠1、∠2的度數，再研究∠1+∠2的度數和∠A的度數之間的數量關系，可以猜想∠1+∠2=2∠A.

但是，這個問題需要說明理由，因此我們需要逐步進行研究. 這里可能要用到三角形外角的一個重要性質：三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和.

首先，我們可以做特殊化處理如下：

如圖2，如果紙片沿直線DE折疊，使點A′正好落在直線AC上，此時∠1=∠BEA′，∠2為0°. 根據折疊的性質可知∠DA′E=∠A，∠BEA′=∠A+∠DA′E=2∠A，因此∠1+∠2=2∠A. 由此可見，猜想成立.

當然，如圖3，如果紙片沿直線DE折疊，使點A′正好落在直線AB上，實際上與圖2是同一種類型. 此時∠2=∠CDA′，∠1=0°，根據折疊的性質可知∠DA′E=∠A，∠CDA′=∠A+∠DA′E=2∠A，因此得到∠1+∠2=2∠A. 由此可見，猜想依然成立.

然后，我們再思考這個結論在圖1中的一般性的情況下是否依然成立.

證法一：如圖4，根據平角的定義和折疊的性質，得：∠1+∠2=360°-2（∠3+∠4）.

又因為∠3+∠4=180°-∠A，所以∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.

證法二：如圖4，因為∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C=360°，

且∠3+∠4=180°-∠A′=180°-∠A，∠B+∠C=180°-∠A，

所以得到：∠1+∠2+（180°-∠A）+（180°-∠A）=360°，

則∠1+∠2-2∠A=0，所以∠1+∠2=2∠A.

證法三：如圖5，連接AA′. 因為∠1=∠EAA′+∠EA′A=2∠EAA′，∠2=∠DAA′+∠DA′A=2∠DAA′，

所以∠1+∠2=2∠EAA′+2∠DAA′=

2（∠EAA′+∠DAA′）=2∠A.

由此可見，猜想肯定成立.

通過以上兩類圖形的研究，我們可以發現，折疊后點A的位置可以在三角形的邊所在的直線上，也可以在∠A內. 當折疊后的點在∠A的外部，以上結論是否還成立？于是我們可以作出圖6（與圖7是同一種類型）.

如圖6，因為∠1=∠3+∠A，∠3=∠2+∠A′，所以∠1=∠2+∠A′+∠A=∠2+2∠A，所以∠1-∠2=2∠A.

換成圖7，結論就變成了∠2-∠1=2∠A，因此以上的結論肯定是變化了！

同學們，通過以上探究，你們應該掌握了基本的解題方法了吧？我們能否再進一步，解答以下一題？

如圖8，如果把四邊形ABCD沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內部A′、D′的位置，你能求出∠EAD、∠ADF、∠1與∠2之間的關系嗎？并且說明理由.

結論是∠1+∠2=2（∠A+∠D）-360°，這個結論很特別. 其實，最簡單的方法是如下解法：

如圖9，延長EA′、FD′交于點P′，延長EA、FD交于點P，

則∠P=∠EAD-∠ADP=∠EAD-（180°-∠ADF）=∠EAD+∠ADF-180°，

所以∠1+∠2=2∠P′=2∠P=2（∠EAD+∠ADF-180°）=2（∠EAD+∠ADF）-360°，

即2（∠EAD+∠ADF）-（∠1+∠2）=360°.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學東部分校）