一道課本例題的多解探求

學習7.2節時，我并沒有滿足課本上例題的一種解法，而是在自習課上想到了多種解法，下面是我的一些解法：

例 如圖1，AB∥CD，∠A=∠D，判斷AF與ED的位置關系，并說明理由.

教材上說明“AF∥ED”是利用“∠D=∠BED”“∠A=∠D”等量代換到“∠A=∠BED”實現問題的突破. 我首先想到的是利用“∠A=∠AFC”“∠A=∠D”等量代換到“∠D=∠AFC”，請看：

解法二：AF∥ED.

因為AB∥CD，所以∠A=∠AFC.

又∠A=∠D，可得∠D=∠AFC.

所以AF∥ED. 理由仍然是：同位角相等，兩直線平行.

由于平行線的性質、識別方法除了基于“同位角”角度外，也可從“內錯角”或“同旁內角”的角度來推導.

解法三：基于“同旁內角”的角度.

因為AB∥CD，所以∠A+∠AFD=180°.

又∠A=∠D，

可得∠D+∠AFD=180°.

所以AF∥ED. 理由是：同旁內角互補，兩直線平行.

解法四：基于“內錯角”的角度.

如圖2，延長AF到G，因為AB∥CD，所以∠A=∠DFG.

又∠A=∠D，

可得∠D=∠DFG.

所以AF∥ED. 理由是：內錯角相等，兩直線平行.

反思：老師說幾何問題往往有不同的求解方法，以前我總不以為然，通過這個例題的多種解法，我發現，幾何問題確實很有趣，不同的思考角度往往都能達到最終的目標. 看來數學真是很奇妙，我還要多花精力去探究其中的奧秘！

劉老師點評：皇甫同學由教材上這道例題出發，基于“三線八角”（即同位角、內錯角、同旁內角）的不同視角都獲得了問題的求解，體現了對同一數學題求解過程中的“路徑差”，這種“一題多解”“多解歸一”的現象反映出數學問題求解的顯著特點. 對這道例題來說，像皇甫同學這樣從不同的角度思考確實能加深對平行線的性質、條件的深刻理解. 順便指出，皇甫同學在“解法三”和“解法四”中呈現的基于“同旁內角”和“內錯角”的思路，是不是可以找到對應的另外方法呢？就把這個追問或成果擴大留給熱心的小讀者吧！

（指導老師：江海人）