感受奇異美：三角形“兩角平分線”夾角的探究

練習講評時，老師安排我講解下面這道練習：

例1 如圖1，在△ABC中，CP平分∠ACB， BP是△ABC的外角∠ABE的平分線，試分析∠P與∠A的大小關系.

我發現∠P=∠A，不過不少同學都感到很驚訝. 我感覺只敘述難說清楚，于是就在黑板上寫出如下的過程：

由△BCP外角的性質得到，∠P=∠PBE-∠PCB，由△ABC外角的性質得到，∠A=∠ABE-∠ACB，結合角平分線的性質，∠PBE=∠ABE，∠PCB=∠ACB，

于是有∠P=∠A.

這樣一說，大家都明白了. 老師也表示肯定，并要求我們把教材翻到第42頁，課后繼續研究第20題.

課后，我發現這個題目也是兩角平分線夾角問題，經過分析，我發現它們也有如下規律：

例2 如圖2，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點，探究∠BOC與∠A的關系.

【探究】∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，而在△BOC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=90°+∠A.

例3 如圖3，在△ABC中，BP、CP分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的平分線，試求∠BPC與∠A的大小關系.

【探究】∠PBC+∠PCB=

（∠DBC+∠BCE）=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=90°+∠A，于是在△BPC中，∠BPC=

90°-∠A.

原來三角形的“兩角平分線”夾角與“第三個角”都存在一種規律！老師前面曾說三角形的三條內角平分線會交于一點，屬于一種數學上的奇異美現象. 我想，上面三種“兩角平分線”夾角的規律也是一種奇異美吧！

劉老師點評：小宇同學經歷了上面的變式與探究，積累了三角形“兩角平分線”夾角的規律問題，這其實是陜西師大羅增儒教授倡導的“模式識別”策略，上文的探究和小結其實就是發現和積累模式圖形與性質（也有資料上稱“基本圖形及性質”），這樣在此后的作業或考試中，面對這類模式圖形就可以快速打開思路，實現問題的快速突破. 實際上，在平時的學習中，這樣的變式探究及一般性規律的發現是十分重要的，只有多進行這樣一題多變的訓練和反思，才能走出題海，更本質地學習知識，提高數學解題能力！

（指導老師：劉東升）