一題“四思考” 結論真不少

在學完“三角形的特殊線段”后，關于三角形的中線，我積累了一個重要的結論：

結論1：三角形的一條中線等分此三角形的面積.

接著在練習課本第41頁第11題時，我又有了好幾個“思考”. 請先看第11題：

如圖1，△ABC的中線AD，BE相交于點F，△ABF與四邊形CEFD的面積有怎樣的數量關系？為什么？

【分析】圖中有兩條中線，根據“結論1”，則有四個三角形的面積相等，即S△ABD= S△ACD=S△ABE=S△BCE=S△ABC. 那么選用哪對面積相等的三角形來解決問題呢？

思考一：選△ABD與△BCE來探究，因為△ABF在△ABD中，四邊形CEFD在△BCE中，而且都含有△BDF，在計算中可以抵消.

解：∵AD，BE是△ABC的中線，

∴S△ABD=S△BCE=S△ABC.

又S△ABF=S△ABD-S△BDF，S四邊形CEFD=S△BCE-

S△BDF，

∴S△ABF=S四邊形CEFD.

由此，得到：

結論2：若AD、BE分別是△ABC的中線，那么S△ABF=S四邊形CEFD.

思考二：繼續探究，由于S△ABD=S△ACD=

S△ABE=S△BCE，那么其中每兩個三角形的面積相等的組合方式就有6種，如果選用S△ABD=

S△ACD，再根據結論二，很容易發現S△BDF=

S△AEF. 有點意思！我又在想：如果不用結論二可證明“S△BDF=S△AEF”嗎？

若選S△ABD=S△ABE，即S△ABF+S△BDF=S△ABF+

S△AEF. ∴S△BDF=S△AEF.

哦，我明白了，在本例中，又得到：

結論3：若AD、BE分別是△ABC的中線，那么，S△BDF=S△AEF.

思考三：如果連接CF，如圖2.

根據結論1，有S△CDF=S△BDF，S△CEF=S△AEF.

根據結論3，有S△BDF=S△AEF，

∴S四邊形CEFD=2S△BDF=2S△AEF.

由此可得：S△ABF=S四邊形CEFD=2S△BDF=

2S△AEF.

思考四：既然S△ABF

=2S△BDF，那么，我反過來再探究，過點B作BM垂直直線AD的延長線于點M. 如圖3.

則有S△ABF=AF·BM，S△BDF=DF·BM，

又S△ABF=2S△BDF.

∴AF·BM=DF·BM，

∴AF=2DF.

哇，又一個新結論出來了. 爽！就叫它結論4吧.

結論4：若△ABC的中線AD、BE交于點F，那么AF=2DF.

探究到此，我已心滿意足了，一看時間，哇，夜深了，休息去，明天還要上學呢！哈哈哈……

徐老師點評：徐涵是一個十分愛動腦筋的好學生，他探究思維靈活，追問、遷移意識強，從本文即可略見一斑. 從他的這篇探究性文章看，首先，他從中線出發，發現“中線等分三角形面積”這個結論. 然后以此展開廣泛而有見地的探究，得到一系列由中線推出的有效結論，為中線中涉及有關面積問題的解答提供了有力證據，很值得借鑒和推廣. 希望該生繼續保持探究的能力和追問意識，創作出更新、更好的作品.

（指導老師：徐金星）