


幾何學是數學科學中最古老、最成熟的一個分支.直到18世紀,還是由歐幾里得幾何一統天下,即使解析幾何出現了,也未改變歐氏幾何的實質內容.進入19世紀,一場幾何學領域的革命悄然開始了.
對于第五公設的思考
古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》中給出了五個公設(卷首介紹),其中第五個公設是“同平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在直線同側的兩個內角之和小于180°,則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交”.長期以來,數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來,顯得文字敘述冗長,而且也不那么顯而易見.有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第29個命題中才用到,而且以后再也沒有使用.也就是說,在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前28個命題.因此,一些數學家提出,第五公設能不能不作為公設,而作為定理?能不能依靠前四個公設來證明第五公設?還有的數學家們又嘗試用反證法討論第五公設.到了19世紀上半葉,數學家們認識到,應該否認第五公設,引入新的幾何理念,這就是幾何革命的開始,非歐幾何也隨之誕生.
非歐幾何的誕生
德國數學家高斯否定了第五公設,從1813年開始建立新的幾何學,并定名為“非歐幾何”.可惜他生前有關的信件和筆記一直沒有發表,直到去世后才引起人們的注意.
羅巴切夫斯基的非歐幾何
首先有系統著作發表的要算俄國數學家羅巴切夫斯基( 1792 -1856).1826年,他在喀山大學宣讀了關于幾何原理概述的論文.1829年,他又在《喀山通報》上發表《論幾何原理》,這成為世界上最早發表的非歐幾何文獻.新幾何學公布后,遭到許多人的攻擊,被指責為“荒唐的笑話”.但他卻始終不妥協,表現出非凡的勇氣.羅巴切夫斯基晚年雙目失明,仍以口述的方式完成他最后的著作《泛幾何學》,對非歐幾何給出了全新的說明.因此,現在人們把由他發展的非歐幾何稱為羅巴切夫斯基幾何,簡稱“羅氏幾何”.
三種幾何的比較
非歐幾何的產生和發展,引起了人們對數學本質的深入探討,影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展.
黎曼的非歐幾何
1854年,德國數學家黎曼( 1826 - 1866)在哥廷根大學作了題為《關于幾何基礎的假設》的報告,提出了另一種既不是歐氏幾何,又不是羅氏幾何的新幾何體系.現在人們稱它為黎曼幾何,簡稱“黎氏幾何”.
黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一,為數學的發展立下了豐功偉績. 他一生中發表的論文著作雖然不多,卻異常深刻,篇篇堪稱經典.他是復變函數論的奠基人.在素數分布中,他提出的“黎曼猜想”,是數學中懸而未決的最重要的猜想.