函數(shù)視角下的面積問題求解策略

一、 將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形求面積

例1 （2012·菏澤）如圖1，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到三角形A′B′O.

（1） 一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，求該拋物線的解析式；

（2） 設點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3） 在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形，并寫出它的兩條性質.

【思路點撥】

1. 四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍.

2. 連接PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個三角形.

3. 過點P向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個直角梯形和一個直角三角形.

【解答過程】

【面積另解】第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖3那樣分割圖形，這樣運算過程更簡單.

二、 運用S=水平線×鉛垂高求面積

例2 （2013·蘇州）如圖8，已知拋物線y=x2+bx+c（b、c是常數(shù)，且c<0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（-1，0）.

（1） b=______，點B的橫坐標為_______（上述結果均用含c的代數(shù)式表示）；

（2） 連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E. 點D是x軸上一點，坐標為（2，0），當C、D、E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3） 在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB、PC. 設△PBC的面積為S.

①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有_____個.

【思路點撥】

1. 用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫為兩點式，會發(fā)現(xiàn)OB=2OC.

2. 當C、D、E三點共線時，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD.

3. 求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計算：P在BC上方或下方.

4. 求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過C運動到B的過程中面積的正整數(shù)值，再數(shù)個數(shù). 注意排除點P在A、C、B三個時刻的值.

如果S四邊形PB′A′B=4S△A′B′O=4，那么S四邊形PB′OB=3S△A′B′O=3.

設點P的坐標為（x，-x2+x+2）.

S梯形PB′OD=DO（B′O+PD）=x（2-x2+x+2）=-x3+x2+2x.

S△PDB=DB×PD=（2-x）（-x2+x+2）=x3-x2+2.

所以S四邊形PB′OB=S梯形PB′OD+S△PDB=-x2+2x+2.

解方程-x2+2x+2=3，得x1=x2=1.

所以點P的坐標為（1，2）.

思路一：運用公式S=水平線×鉛垂高求面積=OC·|xB-xA|；

思路二：構造輔助線S△ABO=SABDE-S△AOE-S△BOD.

（作者單位：江蘇省如東縣實驗中學）