善于思考不斷探究

潤(rùn)學(xué)

圖形的直觀啟示是我們?cè)诮忸}過(guò)程中需要關(guān)注的，但從你解題的實(shí)踐說(shuō)明本題用填空題的形式出現(xiàn)，有它內(nèi)在的缺陷. 我也對(duì)該題作過(guò)一些探究，頗有引人入勝之感，不妨我倆來(lái)交流一下.

俗話說(shuō)“觸類旁通”，不知你看了這題，頭腦中聯(lián)想到了什么？

我想起了一道經(jīng)典題：如圖3，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的大小.與本題很相似.

如何解這道題你還有印象嗎？

有. 將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BP′C.連接PP′，△BPP′為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，△PP′C的三邊長(zhǎng)為3、4、5，構(gòu)成直角三角形，得∠BP′C=60°+90°=150°，即∠APB=150°.

你說(shuō)得很對(duì). 本題只是將等邊△ABC遷移為正方形ABCD，是這條經(jīng)典題的類比與拓展，所以考慮旋轉(zhuǎn)也就在意料之中了.

我記得除了求出∠APB=150°，還可求出等邊△ABC的面積，那能求出正方形ABCD的面積嗎？

這正是我要說(shuō)的變化三，求正方形ABCD的面積.

受前面的啟發(fā)，如圖4，過(guò)B作BF⊥CE′于F，∵∠BE′C=135°，∴∠BE′F=45°，∴BF=E′F==，在Rt△BCF中，BC 2=BF 2+CF 2=

（）2+（1+）2=5+2. 所以正方形ABCD的面積是5+2. 如果將問(wèn)題改為求△ACE的面積，也很有意思. 結(jié)果是. （請(qǐng)你想一想，為什么？）

我們?cè)賮?lái)看變化四：求ED的長(zhǎng).

這怎么去求呢？

我們來(lái)看看用代數(shù)法能否解決它. E點(diǎn)的位置由E到邊AB、BC的距離來(lái)確定，為此過(guò)E作EK⊥BC，交BC于K，交AD于M；過(guò)E作EN⊥AB，交AB于N，延長(zhǎng)NE交CD于P，如. 設(shè)EN=h1，EK=h2，正方形邊長(zhǎng)為a，根據(jù)已知條件有：h2 1+h2 2=4①，h2 1+（a-h2）2=1②，（a-h1）2+h2 2=9③，而ED2=（a-h1）2+（a-h2）2.

還可以這么做呀！

如果你對(duì)整體化思想理解更深一些，從尋求所求結(jié)論與已知條件之間的整體的聯(lián)系著手，發(fā)現(xiàn)②+③得h2 1+h2 2+（a-h1）2

+（a-h2）2=10，即（a-h1）2+（a-h2）2=6，問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單了.

你說(shuō)得很好. 今天我們一起對(duì)一道題深入思考，不斷探究，將很多相關(guān)的知識(shí)、方法、思想串聯(lián)起來(lái)，開(kāi)拓了思路，擴(kuò)大了視野，增強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的探求能力，也收到了很好的復(fù)習(xí)效果. 這種做法，值得提倡.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）

圖形的直觀啟示是我們?cè)诮忸}過(guò)程中需要關(guān)注的，但從你解題的實(shí)踐說(shuō)明本題用填空題的形式出現(xiàn)，有它內(nèi)在的缺陷. 我也對(duì)該題作過(guò)一些探究，頗有引人入勝之感，不妨我倆來(lái)交流一下.

俗話說(shuō)“觸類旁通”，不知你看了這題，頭腦中聯(lián)想到了什么？

我想起了一道經(jīng)典題：如圖3，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的大小.與本題很相似.

如何解這道題你還有印象嗎？

有. 將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BP′C.連接PP′，△BPP′為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，△PP′C的三邊長(zhǎng)為3、4、5，構(gòu)成直角三角形，得∠BP′C=60°+90°=150°，即∠APB=150°.

你說(shuō)得很對(duì). 本題只是將等邊△ABC遷移為正方形ABCD，是這條經(jīng)典題的類比與拓展，所以考慮旋轉(zhuǎn)也就在意料之中了.

我記得除了求出∠APB=150°，還可求出等邊△ABC的面積，那能求出正方形ABCD的面積嗎？

這正是我要說(shuō)的變化三，求正方形ABCD的面積.

受前面的啟發(fā)，如圖4，過(guò)B作BF⊥CE′于F，∵∠BE′C=135°，∴∠BE′F=45°，∴BF=E′F==，在Rt△BCF中，BC 2=BF 2+CF 2=

（）2+（1+）2=5+2. 所以正方形ABCD的面積是5+2. 如果將問(wèn)題改為求△ACE的面積，也很有意思. 結(jié)果是. （請(qǐng)你想一想，為什么？）

我們?cè)賮?lái)看變化四：求ED的長(zhǎng).

這怎么去求呢？

我們來(lái)看看用代數(shù)法能否解決它. E點(diǎn)的位置由E到邊AB、BC的距離來(lái)確定，為此過(guò)E作EK⊥BC，交BC于K，交AD于M；過(guò)E作EN⊥AB，交AB于N，延長(zhǎng)NE交CD于P，如. 設(shè)EN=h1，EK=h2，正方形邊長(zhǎng)為a，根據(jù)已知條件有：h2 1+h2 2=4①，h2 1+（a-h2）2=1②，（a-h1）2+h2 2=9③，而ED2=（a-h1）2+（a-h2）2.

還可以這么做呀！

如果你對(duì)整體化思想理解更深一些，從尋求所求結(jié)論與已知條件之間的整體的聯(lián)系著手，發(fā)現(xiàn)②+③得h2 1+h2 2+（a-h1）2

+（a-h2）2=10，即（a-h1）2+（a-h2）2=6，問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單了.

你說(shuō)得很好. 今天我們一起對(duì)一道題深入思考，不斷探究，將很多相關(guān)的知識(shí)、方法、思想串聯(lián)起來(lái)，開(kāi)拓了思路，擴(kuò)大了視野，增強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的探求能力，也收到了很好的復(fù)習(xí)效果. 這種做法，值得提倡.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）

圖形的直觀啟示是我們?cè)诮忸}過(guò)程中需要關(guān)注的，但從你解題的實(shí)踐說(shuō)明本題用填空題的形式出現(xiàn)，有它內(nèi)在的缺陷. 我也對(duì)該題作過(guò)一些探究，頗有引人入勝之感，不妨我倆來(lái)交流一下.

俗話說(shuō)“觸類旁通”，不知你看了這題，頭腦中聯(lián)想到了什么？

我想起了一道經(jīng)典題：如圖3，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的大小.與本題很相似.

如何解這道題你還有印象嗎？

有. 將△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△BP′C.連接PP′，△BPP′為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，△PP′C的三邊長(zhǎng)為3、4、5，構(gòu)成直角三角形，得∠BP′C=60°+90°=150°，即∠APB=150°.

你說(shuō)得很對(duì). 本題只是將等邊△ABC遷移為正方形ABCD，是這條經(jīng)典題的類比與拓展，所以考慮旋轉(zhuǎn)也就在意料之中了.

我記得除了求出∠APB=150°，還可求出等邊△ABC的面積，那能求出正方形ABCD的面積嗎？

這正是我要說(shuō)的變化三，求正方形ABCD的面積.

受前面的啟發(fā)，如圖4，過(guò)B作BF⊥CE′于F，∵∠BE′C=135°，∴∠BE′F=45°，∴BF=E′F==，在Rt△BCF中，BC 2=BF 2+CF 2=

（）2+（1+）2=5+2. 所以正方形ABCD的面積是5+2. 如果將問(wèn)題改為求△ACE的面積，也很有意思. 結(jié)果是. （請(qǐng)你想一想，為什么？）

我們?cè)賮?lái)看變化四：求ED的長(zhǎng).

這怎么去求呢？

我們來(lái)看看用代數(shù)法能否解決它. E點(diǎn)的位置由E到邊AB、BC的距離來(lái)確定，為此過(guò)E作EK⊥BC，交BC于K，交AD于M；過(guò)E作EN⊥AB，交AB于N，延長(zhǎng)NE交CD于P，如. 設(shè)EN=h1，EK=h2，正方形邊長(zhǎng)為a，根據(jù)已知條件有：h2 1+h2 2=4①，h2 1+（a-h2）2=1②，（a-h1）2+h2 2=9③，而ED2=（a-h1）2+（a-h2）2.

還可以這么做呀！

如果你對(duì)整體化思想理解更深一些，從尋求所求結(jié)論與已知條件之間的整體的聯(lián)系著手，發(fā)現(xiàn)②+③得h2 1+h2 2+（a-h1）2

+（a-h2）2=10，即（a-h1）2+（a-h2）2=6，問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單了.

你說(shuō)得很好. 今天我們一起對(duì)一道題深入思考，不斷探究，將很多相關(guān)的知識(shí)、方法、思想串聯(lián)起來(lái)，開(kāi)拓了思路，擴(kuò)大了視野，增強(qiáng)了對(duì)知識(shí)的探求能力，也收到了很好的復(fù)習(xí)效果. 這種做法，值得提倡.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第四中學(xué)）