方程思想

梅莉莉

方程思想是一種重要的數學思想方法，是指在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數量關系入手，找出相等關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應用非常廣泛，下面我們通過幾個例題來體會方程思想的巨大威力.

一、 代數問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項，則m-n=______.

【解析】因為5xym與4xm+n-1y是同類項，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點評】根據同類項的定義：相同字母的指數相同，可列出關于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場將進貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個. 調查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個.

（1） 請寫出每月售出書包利潤y（元）與每個書包漲價x（元）間的函數關系式；

（2） 略；

（3） 請分析并回答售價在什么范圍內商家獲得的月利潤不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當y=6 000時，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當0≤x≤50時，y≥6 000，即當售價在不小于40元且不大于90元時，月利潤不低于6 000元.

【點評】本題第（3）問中將二次函數中的范圍問題轉化為方程問題，結合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數等，下面我們以三角函數、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點D為AC上一點，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點評】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關系設出未知數，利用三角形內角和建立方程解決問題，簡潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點評】本題解題的關鍵是設出底面圓半徑r，將兩圓位置關系轉化為數量關系，結合題中已知條件根據勾股定理建立方程.

三、 統計概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個，黑球4個，黃球n個，攪勻后隨機從中摸取一個恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數n=______.

【解析】因為摸到黃球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統計表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數為a，中位數為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點評】利用方程思想表示數量之間的關系，在求解概率統計問題中往往可以發揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

方程思想是一種重要的數學思想方法，是指在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數量關系入手，找出相等關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應用非常廣泛，下面我們通過幾個例題來體會方程思想的巨大威力.

一、 代數問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項，則m-n=______.

【解析】因為5xym與4xm+n-1y是同類項，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點評】根據同類項的定義：相同字母的指數相同，可列出關于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場將進貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個. 調查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個.

（1） 請寫出每月售出書包利潤y（元）與每個書包漲價x（元）間的函數關系式；

（2） 略；

（3） 請分析并回答售價在什么范圍內商家獲得的月利潤不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當y=6 000時，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當0≤x≤50時，y≥6 000，即當售價在不小于40元且不大于90元時，月利潤不低于6 000元.

【點評】本題第（3）問中將二次函數中的范圍問題轉化為方程問題，結合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數等，下面我們以三角函數、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點D為AC上一點，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點評】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關系設出未知數，利用三角形內角和建立方程解決問題，簡潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點評】本題解題的關鍵是設出底面圓半徑r，將兩圓位置關系轉化為數量關系，結合題中已知條件根據勾股定理建立方程.

三、 統計概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個，黑球4個，黃球n個，攪勻后隨機從中摸取一個恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數n=______.

【解析】因為摸到黃球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統計表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數為a，中位數為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點評】利用方程思想表示數量之間的關系，在求解概率統計問題中往往可以發揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

方程思想是一種重要的數學思想方法，是指在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數量關系入手，找出相等關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程（或方程組），再通過解方程（組）解決問題. 其應用非常廣泛，下面我們通過幾個例題來體會方程思想的巨大威力.

一、 代數問題中的方程思想

例1 若5xym與4xm+n-1y是同類項，則m-n=______.

【解析】因為5xym與4xm+n-1y是同類項，所以m+n-1=1，

m=1.解得m=1，

n=1.

所以m-n=0.

【點評】根據同類項的定義：相同字母的指數相同，可列出關于m和n的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值，代入求出m-n的值.

例3 （2009·武漢）某商場將進貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個. 調查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個.

（1） 請寫出每月售出書包利潤y（元）與每個書包漲價x（元）間的函數關系式；

（2） 略；

（3） 請分析并回答售價在什么范圍內商家獲得的月利潤不低于6 000元.

【解析】（1） 由題意得，

y=（10+x）（600-10x）=-10x2+500x+6 000.

（3）當y=6 000時，-10（x-25）2+12 250=6 000，

解得x1=0，x2=50，

函數y=-10（x-25）2+12 250的圖像開口向下，對稱軸為直線x=25，與直線y=6 000的交點為（0，6 000）和（50，6 000），由圖1可知，當0≤x≤50時，y≥6 000，即當售價在不小于40元且不大于90元時，月利潤不低于6 000元.

【點評】本題第（3）問中將二次函數中的范圍問題轉化為方程問題，結合圖像得出范圍.

二、 幾何問題中的方程思想

平面幾何中，很多問題都可以通過引入未知量建立方程（組）來解決問題，如圖形的面積問題、相似三角形、勾股定理、三角函數等，下面我們以三角函數、勾股定理為例加以說明.

例4 在等腰△ABC中，AB=AC，點D為AC上一點，且AD=BD=BC，則∠A=______.

【解析】∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB.

設∠A=x，則∠ABD=∠A=x，

∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∠A=36°.

【點評】本題中有較多等腰三角形，利用角度之間的關系設出未知數，利用三角形內角和建立方程解決問題，簡潔清晰.

例5 （2012·寧波）如圖3，用鄰邊分別為a，b（a

A. b=a B. b=a

C. b=a D. b=a

【解析】設兩圓圓心分別為B、C，底面圓的半徑為r，連接BC，過點B作矩形短邊的垂線，垂足為A，則BC=a+r，AB=b，AC=a-r，由勾股定理可得

【點評】本題解題的關鍵是設出底面圓半徑r，將兩圓位置關系轉化為數量關系，結合題中已知條件根據勾股定理建立方程.

三、 統計概率中的方程思想

例6 （2011·廣安）在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球6個，黑球4個，黃球n個，攪勻后隨機從中摸取一個恰好是黃球的概率為，則放入的黃球總數n=______.

【解析】因為摸到黃球的概率為，所以=，解得n=5.

例7 下表是某公司20名員工某月的工資統計表：

（1） 若這20名員工的平均工資為1 820元，求x和y的值；

（2） 在（1）的條件下，若這20名員工的該月工資的眾數為a，中位數為b，求a和b.

【解析】（1） 由題意可得

x+y+8=20，

1 800x+1 900y+1 600+8 500+4 000=36 400.

解得x=5，

y=7.

（2） 略.

【點評】利用方程思想表示數量之間的關系，在求解概率統計問題中往往可以發揮巨大作用.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）