分類討論思想

分類討論是一種重要的數學思想方法，俗稱“先化整為零，再各個擊破，最后積零為整”. 日本著名數學教育家米山國藏曾將它通俗地解釋為：“在解決數學問題時，有時無法用同一種方法一次去解決，而需要按照一個標準將問題劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決.”由此我們可以提煉出用分類討論思想解決問題的一般步驟：明確對象、確定范圍→統一標準、合理分類→逐級討論、分類求解→歸納綜合、得出結論.

一、 代數類分類討論

例1 若a=3，b=5，且a>b，求a+b的值.

【解析】∵a=3，∴a=±3. ∵b=5，∴b=±5. 又∵a>b，∴a+b的值有以下兩種情況：當a=3，b=-5時，a+b=-2；當a=-3，b=-5時，a+b=

-8. 故a+b的值為-2或-8.

【點評】本題解決的關鍵在于“絕對值”化簡. 根據“互為相反數的兩個數的絕對值相等”可知：a=±3，b=±5，再由a>b篩選出符合條件的兩種情況，求出a+b的值.

例2 （2010·鹽城）已知：函數y=ax2+x+1的圖像與x軸只有一個公共點.

（1） 求這個函數關系式；（2）（3）略.

【解析】當a=0時，y=x+1，圖像與x軸只有一個公共點；當a≠0時，△=12-4a×1=0，解得a=，圖像與x軸只有一個公共點. ∴函數的解析式為：y=x+1或y=x2+x+1.

【點評】本題解答中的常見錯誤是漏掉“y=x+1”. 題目中沒有說明所求函數是哪種函數，因此對于二次項系數a要進行分類討論，即分a=0（一次函數）和a≠0（二次函數）兩種情況.

例3 （2013·本溪）某蔬菜經銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經銷商一次性采購蔬菜的單價y（元/千克）與采購量x（千克）之間的函數關系圖像如圖1中折線AB—BC—CD所示（不包括端點A）.

（1） 當100

（2） 蔬菜的種植成本為2元/千克，某經銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元？

（3） 略.

【解析】（1） 利用待定系數法求出當100

（2） 設采購量是x千克時，蔬菜種植基地獲利W元. 當0

【點評】本題第（2）問的解決需要建立函數模型求解最大利潤. 由于在0

二、 幾何類分類討論

例4 （2013·欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數是（ ）.

A. 80° B. 80°或20°

C. 80°或50° D. 20°

【解析】當80°角是頂角時，三角形的頂角為80°；當80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數為80°或20°. 故選B.

【點評】題目中給定的“80°角”無法確定是頂角還是底角，所以需要分“80°角是頂角”、“80°角是底角”兩種情形分類討論. 在解決等腰三角形的這類問題時，首先要關注條件中給定的角是頂角還是底角，給定的邊是腰還是底邊. 如果不確定，就需要分類討論.

例5 （2013·上海）如圖2，在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=BO=2，∠AOB=120°.

（1） 求這條拋物線的表達式；

（2） 連接OM，求∠AOM的大小；

（3） 如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標.

【解析】（1） 根據AO=OB=2，∠AOB=120°，求得A點為（-1，）、B點坐標為（2，0），進而利用待定系數法求得二次函數解析式為y=x2-x；

（2） 如圖3，根據（1）中解析式求出M點坐標為1，

-，再過點M作MF⊥x軸于點F，如圖3，利用銳角三角函數關系求出∠FOM=30°，進而得到∠AOM=150°；

（3） 當△ABC1∽△AOM時，=，求得BC1=2，所以C1的坐標為（4，0）；當△C2BA∽△AOM時，=，求得BC2=6，所以C2的坐標為（8，0）.

【點評】此題的第（3）問是典型的相似三角形的分類討論問題，由于兩個相似三角形的對應頂點不確定，故需要根據頂點的對應順序進行分類討論.

例6 已知：弦AB=2，AC=2，☉O的半徑為2. 求∠BAC的度數.

【解析】過O點作OE⊥AB，垂足為E，作OF⊥AC，垂足為F，連接OA. 由垂徑定理，得AE=，AF=. 在Rt△AEO中，cos∠EAO==，∠EAO=45°；在Rt△AFO中，cos∠FAO==，∠FAO=30°. 如圖4，當圓心O在∠BAC的內部時，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°；如圖5，當圓心O在∠BAC的外部時，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°. 故∠BAC度數為75°或15°.

【點評】本題由于弦AB、CD與圓心O的相對位置不確定，造成了∠BAC的表示有兩種情形：∠BAC=∠BAO+∠CAO或∠BAC=∠BAO-∠CAO. 值得提醒的是：本題中∠BAO、∠CAO的大小還可以通過“直徑所對的圓周角為直角”構造直角三角形，再利用銳角三角函數求解.

三、 綜合類分類討論

例7 （2012·桂林）如圖6，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動. 設P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t的函數關系的圖像是（ ）.

【解析】當0≤t≤2時，點P在AB上，點Q在BC上，S=AP·BQ=·t·2t=t2；當2

【點評】本題是運動中的分類討論問題. 在運動型問題中，隨著圖形位置的變化，圖形的形狀、大小往往也隨之變化. 解題的關鍵在于能夠根據題意準確畫出相應的圖形，并抓住運動中的臨界位置進行正確分類求解.

例8 （2013·湛江）如圖7，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，-5）.

（1） 求此拋物線的解析式；

（2） 略；

（3） 在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 利用待定系數法求得拋物線的解析式為：y=-（x-3）2+4或y=-x2+6x-5.

（3） 存在. 分別過點C和A作CP1⊥AC于點C，AP2⊥AC于點A，交拋物線于點P1，P2，∴P1點的坐標為（t，5-t），于是5-t=-t2+6t-5，解得t=2，t=5（舍去），∴P1點的坐標為（2，3）；同理可求得P2（7，-12）. 綜上所述P的坐標為（2，3）或（7，-12）.

【點評】本題的第（3）問中，直角三角形的直角頂點具有不確定性，所以需要分兩種情形來討論，即分別以C為直角頂點和以A為直角頂點展開探究.

在解題過程中，我們常常會遇到諸如數量關系不唯一、圖形形狀不一致等不確定的情形，使得對所給的問題不能進行統一研究. 這時就需要分類討論，對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后綜合各類結果歸納并解答. 正確的分類討論必須做到標準統一、逐級討論，確保分類既不重復、也不遺漏.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）