例談數學中的特殊與一般思想

人們認識世界總是從特殊到一般，再從一般到特殊，數學研究也不例外. 對于一般情況下難以求解的問題，可以運用特殊化思想，取特殊值、特殊圖形，從而使問題順利求解. 本文結合一些例題來談一下特殊與一般思想在數學中的運用.

一、 用“特殊化”思想解題

“特殊”能在一定范圍內反映或體現“一般”. 由于填空、選擇題不要求嚴密完整的推理過程，若能用特殊化進行探索、猜想、驗證，可以使解題過程簡單，獲取答案快速而且準確. 用特殊化方法解題的理論依據和邏輯基礎是：若一般情況下成立，那么其包含于題目中的特殊情況也成立，這是一種巧法.

1. 字母或角的取值特殊化

【解析】這道題目要判斷的四個不等式很“龐大”，用特殊值法可達到“秒殺”的效果. 因為<，所以只要取符合條件的a、b、c、d的值，如a=1、b=2、c=3、d=4，代入各式即可判斷不等式的正誤. 故本題應選A.

【點評】在利用特殊化的方法解決問題時需要注意以下幾點：（1） 題目的答案必須是唯一確定的；（2） 特殊值的選取必須符合題設條件；（3） 特殊值的選取應盡可能簡單，以便運算和比較.

2. 點或圖形位置特殊化

例2 （2012·德州）如圖1，兩個反比例函數y=和y=-的圖像分別是l1和l2. 設點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則△PAB的面積為（ ）.

A. 3 B. 4 C. D. 5

【解析】在本題中，只要點P確定，那么A、B、C、D四點也就確定了. 本題給出的選項都是一個定值，也從側面反映只要點P在l1上，△PAB的面積與點P的坐標無關. 不妨設點P的橫坐標為1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，△PAB的面積為，故選C.

例3 （2013·濟寧）如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF= ______.

【解析】這是一道與動點有關的問題. 以這種形式出現，最后結果肯定是一個定值. 既然點P在AD上運動，那么點P在線段AD的任何位置PE+PF的值都不變. 因此可以讓點P運動到點A，根據題意畫出如圖3所示的圖形，此時PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利用△ABD的面積可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.

【點評】用特殊圖形解決問題時，一定要注意特殊圖形的選取必須要符合題設條件，且問題的答案必須是唯一確定的. 所以在構造特殊圖形時，一般從以下幾個方面來考慮：（1） 線段上的特殊點一般取線段的中點或者端點，弧上的點一般選取弧的中點或端點；（2） 線與線的位置關系可以特殊化為平行、垂直或重合；（3） 任意四邊形可特殊化為平行四邊形、矩形、菱形或正方形.

二、 用“特殊→一般→特殊”思想解決問題

1. 在中考中，經常會遇到探索規律的題目. 解決這類題目的方法是從簡單、特殊、具體情形出發，通過特殊情況的研究，歸納出一般結論，有時還需用一般結論解決其他特殊情況.

例4 （2013·淮安）觀察一列單項式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…則第2013個單項式是_______.

【解析】本題先看系數變化規律：系數依次為1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指數變化規律：x的指數依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可見三個單項式一個循環，故可得第2013個單項式的系數為4025；因為2013÷3=671，所以第2013個單項式的指數為2.因此第2013個單項式是4025x2. 本題體現了由特殊到一般再到特殊的思維過程.

2. 在某些幾何圖形中，有些點和線的位置是在不斷變化的，在這個變化過程中，卻有一些線段的長度或比值、角的大小等存在著一定的關系. 解決這類問題，一般是從特殊情況入手，逐步分析、比較、討論，從中發現規律或者解答方法，再用這個規律或解答方法解決其他類似問題.

例5 （2012·河南）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.

原題：如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G. 若=3，求的值.

（1） 嘗試探究

在圖4中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是______，CG和EH的數量關系是______，的值是______.

（2） 類比延伸

如圖5，在原題的條件下，若=m（m>0），則的值是______（用含有m的代數式表示），試寫出解答過程.

（3） 拓展遷移

如圖6，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F. 若=a，=b，（a>0，b>0），則的值是______（用含a、b的代數式表示）.

【解析】第（1）題，按照題中的提示方法利用三角形相似不難求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）題是第（1）題的一般情況，因此可以仿照第（1）題添加相同的輔助線，過點E作EH∥AB交BG于點H，利用類似的方法求出=. 第（3）題把原題中的平行四邊形變為了梯形，有了前面兩題的解題經驗，對于這種特殊情況，仍可添加類似的輔助線：過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H（如圖7），依舊是利用相似求出=ab.

【點評】運用“特殊→一般→特殊”的思想方法，能使數學問題化難為易，而且能加深同學們對數學知識的理解，同時還能打開解題思路.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）