例談建模思想

日常生活是應用問題的源泉，現(xiàn)實生活中的家庭日用電量的計算、紅綠燈管制的設計、住房問題、投擲問題等，都可以通過建立數(shù)學模型（即數(shù)學建模）加以解決. 簡單地說，數(shù)學建模就是利用數(shù)學語言（符號、式子與圖像）模擬現(xiàn)實的模型. 建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義. 下面我們通過一些例題來展示初中學習中幾種常見的數(shù)學模型.

一、 建立方程（組）模型

方程（組）是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系最基本的數(shù)學模型，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數(shù)，找出相等關系，但要注意驗證結果是否符合實際問題的意義.

例1 （2013·汕頭）雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災捐款活動. 第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.

（1） 如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；

（2） 按照（1）中收到捐款的增長率，第四天該單位能收到多少捐款？

解：（1） 設捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得：10 000×（1+x）2=12 100.

解得x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）.

答：捐款增長率為10%.

（2） 12 100×（1+10%）=13 310（元）.

答：第四天該單位能收到13 310元捐款.

【點評】 注意本題中增長率不能為負數(shù).

二、 建立不等式（組）模型

在解決數(shù)學應用問題時，經(jīng)常遇到一些不等關系，解決這類問題首先要理解題意，理清各個量之間的關系，然后根據(jù)題目的要求，選擇合適的不等式（組）模型解決問題. 在構建不等式（組）時，要注意至多（少）、不大（小）于等表示不等關系的詞語，明確誰比誰大（小），同時考慮某些隱含條件及實際意義.

例2 （2013·南京）某商場促銷方案規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售，同時，當顧客在商場內(nèi)消費滿一定金額后，按下表獲得相應的返還金額.

注：300-400表示消費金額大于300元且小于或等于400元，其他類同.

根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：若購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400×（1-80%）+30=110（元）.

（1） 購買一件標價為1 000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

（2） 如果顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標價至少為多少元？

解：（1） 標價為1 000元的商品按80%的價格出售，消費金額為800元，返還金額為150元，顧客獲得的優(yōu)惠額是：1 000×（1-80%）+150=350（元）.

（2） 設該商品的標價為x元.

當80%x≤500，即x≤625時，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過625×（1-80%）+60=185<226；

當500<80%x≤600，即625

所以630≤x≤750.

當600<80%x≤800×80%，即750226.

綜上所述，顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標價至少為630元.

【點評】本題要注意消費金額為標價的80%，且對于第（2）小題，需要先求出表中每檔返還金額顧客獲得的最大（小）優(yōu)惠額，找出優(yōu)惠不少于226元的范圍，再列不等式求解.

三、 建立函數(shù)模型

新課標提出，同學們能用適當?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系變化，結合對函數(shù)關系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進行初步預測，能用一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)來解決簡單的實際問題. 在學習了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，同學們的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型. 因此，一些實際問題就可以通過建立函數(shù)模型來解決.

例3 （2013·武漢）科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，一天后，測試出這種植物高度的增長情況：

由這些數(shù)據(jù)，科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.

（1） 請你選擇一種適當?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；

（2） 溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？

（3） 如果實驗室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250 mm，那么實驗室的溫度x應該控制在哪個范圍內(nèi)？請直接寫出結果.

∴在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250 mm，實驗室的平均溫度應保持在-6℃（不包括）至4℃（不包括）之間.

【點評】本題要求對每種函數(shù)的模型及特征都很了解，如一次函數(shù)圖像是直線，反比例函數(shù)圖像與坐標軸無交點等；二次函數(shù)求變量范圍的問題一般都可以結合圖像解決.

四、 建立幾何模型

在解決一些代數(shù)問題時，常從數(shù)式所涉及的幾何意義出發(fā)，構造相應的幾何模型，用幾何圖形直觀地展示已知條件和未知條件之間的數(shù)量關系，然后借助圖形的直觀形象解決問題.

例4 （2013·昭通）已知圖中每一個小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）=_______.（用n表示，n是正整數(shù)）

解：利用每個小方格的面積為1，可以得出：

1+3=4=22，

1+3+5=9=32，

1+3+5+7=16=42，…

1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

【點評】結合所給的等式，你會發(fā)現(xiàn)整個圖形其實就是一層層動態(tài)疊加生成的，計算結果即為最大正方形的面積.

五、 建立統(tǒng)計模型

統(tǒng)計與概率是數(shù)學在生活、生產(chǎn)中應用的重要方面，在教學中應注重所學內(nèi)容與日常生活的聯(lián)系.

例5 （2013·常州）一只不透明的箱子里共有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除顏色外均相同.

（1） 從箱子中隨機摸出一個球是白球的概率是多少？

（2） 從箱子中隨機摸出一個球，記錄下顏色后不將它放回箱子，攪勻后再摸出一個球，求兩次摸出的球都是白球的概率，并畫出樹狀圖.

解：（1） ∵共有3個球，2個白球，∴隨機摸出一個球是白球的概率為；

（2） 根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

一共有6種等可能的情況，兩次摸出的球都是白球的情況有2種，所以，P（兩次摸出的球都是白球）==.

【點評】一般地，對于兩次摸球的事件概率我們都可以通過畫樹狀圖或列表來呈現(xiàn)所有等可能結果，但三次或三次以上的摸球實驗，就只能畫樹狀圖了.

我們平時學習的數(shù)學基礎知識都可以與數(shù)學建模思想建立聯(lián)系，只要同學們能做一位有心人，培養(yǎng)建模的意識，就能從自身的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、創(chuàng)造數(shù)學、運用數(shù)學，使自己的建模能力逐漸提高，真正將數(shù)學應用到生活中去！

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)湖塘實驗中學）