例析運動變化的思想在解題中的應用

運動與變化是解決數學問題的基本思想方法.在解數學問題尤其是幾何圖形問題時，經常要用這種運動變化的觀念來審視或分析問題.用運動變化的思想解決問題的基本思路是“以靜制動”，將運動的元素看成靜止的元素，從特殊情形入手，過渡到一般情形.下面，我們以2013年的幾道中考試題為例加以探究.

例1 （2013·成都）點B在線段AC上，點D、E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC.

（1） 求證：AC=AD+CE；

（2） 若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q，①當點P與A、B兩點不重合時，求的值；②當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長.（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

【解析】（1） 根據同角的余角相等求出∠DBA=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證；

（2） ①P在動，但∠DPQ=90°這個條件不變，利用這個條件想到過點Q作QF⊥BC于F，Q、F也都是動點，但Rt△DAP∽Rt△PFQ不變，且的值就是它們的相似比. 下面根據圖中△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF. 再根據△ADP和△FPQ相似可得=，即=，然后整理得到（AP-BF）·（5-AP）=0，點P與A、B兩點不重合，則AP≠5，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應邊成比例可得=，從而得解值為.

②判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN（如圖3）. 因為線段DQ的中點隨著點P的變化而變化，我們把點P叫做“主動點”，點Q叫做“從動點”，所以要考慮線段DQ的中點所經過的路徑，可以先考慮點P在幾個特殊位置時線段DQ的中點的位置，譬如點P的起始和終點位置，此時線段DQ的中點位置分別對應的是圖中的點M和N，然后大膽猜想DQ的中點的軌跡為△BDQ的中位線MN. 要想驗證的話，只要再任找一個點P，看看此時對應的DQ的中點是否在線段MN上即可.下面先求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據中位線性質求出MN的長度，即所求之路徑長為.

例2 （2013·湖州）如圖4，已知點A是第一象限內橫坐標為2的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N. 若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是______.

【解析】本題中點B隨著點P的運動而運動，點P的位置決定著點B的位置. 考慮點P的兩個特殊位置時對應的點B位置.如圖5所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn，線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.下面來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

【點評】突破本題的關鍵在于通過探索動點運動的幾個“瞬間”（動中求靜），捕捉軌跡形成的“影子”（框架），進而論證和求解.這種運動—靜止—運動的過程蘊涵著辯證與智慧，是一種頗為有效的思想方法.

例3 （2013·湖北荊門）如圖7所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直于BC，且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關于x的函數圖像大致是（ ）.

【解析】我們把直線l“動”起來就可以發現掃過的陰影部分形狀有三種情況：①當直線l經過BA段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越快；②直線l經過AD段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度保持不變；③直線l經過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越小. 綜上所述，選C.

【點評】判斷函數大致圖像的試題，一般應先確立函數關系解析式，再根據函數圖像及性質做出合理的判斷. 分段函數的圖像問題一般遵循以下步驟：①根據自變量的取值范圍對函數進行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式確定每段圖像的形狀.解題時要注意臨界位置，要勤于動手，分別畫出不同情況下的圖形，不要就圖論圖，題中所畫的圖形還會變化.同學們應在變中求不變，動中求靜，以靜制動.

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）