幾何畫板應用于數(shù)學實驗的常見類型

[摘 要]在當前中等職業(yè)學校教學中，數(shù)學實驗教學基本停留在研究的層面上，沒有深入師生和課堂。運用的是傳統(tǒng)教學模式，教學設計的中心仍是教材和教師。以幾何畫板為平臺的數(shù)學實驗教學，倡導以學生的學習為中心，對日常的中等職業(yè)學校數(shù)學教學實踐具有很大的意義。

[關鍵詞]幾何畫板；數(shù)學實驗；應用

數(shù)學有兩個側面，一方面數(shù)學是演繹科學，另一方面數(shù)學更像是一門實驗性的歸納科學。數(shù)學作為一門實驗性的科學，它對學生的思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)遠比讓學生會解幾道題更為重要。但在目前中等職業(yè)學校的實際教學中，數(shù)學實驗更多地停留在教學研究的層面上，并未深入師生和課堂。在傳統(tǒng)教學模式中，教學內容往往是靜態(tài)的，在CAI模式應用的早期，也較多地采用“演示”的手段，這種教學設計的中心仍是教材和教師。以“幾何畫板”為平臺的數(shù)學實驗教學，應倡導以學生的學習為中心的教學模式。針對上述情形，作者結合日常的中等職業(yè)學校數(shù)學教學實踐，以數(shù)學軟件幾何畫板為平臺，探討數(shù)學實驗的四種常見類型：觀察型實驗、驗證性實驗、探索性實驗、解題性實驗。

一、觀察型實驗及案例

[案例1]：正弦型函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質。

實驗環(huán)境：計算機機房，一人一機。

實驗過程：

（1）教師適當指導學生畫出函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像，主要由學生自己動手設置參數(shù)A、w、？漬拖動鼠標來觀察函數(shù)圖像的變化，特別注意的變化對圖像的影響。（如圖1-1）

（2）討論交流，學生獨立或分組討論A、w、？漬的變化對圖像的影響。

（3）在教師的指導下，得出正弦型函數(shù)y=Asin（wx+？漬）的圖像及性質的相關性質和結論。

（4）反思延伸，一是學生自己批改課前預習題的錯誤；二是啟發(fā)學生進行三角函數(shù)圖像的平移。如y=sinx通過怎樣的變換變?yōu)閥=2sin（2x+■）。

這樣的數(shù)學實驗環(huán)境下的教學改變了傳統(tǒng)的教學方法，教學完全體現(xiàn)了學生的主體地位和教師的主導作用。學生在積極參與教學中，獲得的是真正的數(shù)學經(jīng)驗，而不僅是數(shù)學結論，同時也培養(yǎng)了學生學習數(shù)學的熱情。

二、驗證性實驗及案例

[案例2]：兩個平面向量減法的數(shù)學實驗。

若則OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），則OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。這個結論看似簡單，但從筆者教學經(jīng)驗看，大多數(shù)學生在學習的過程中是機械的記憶，特別是沒有理解向量減法的定義，這樣學生就不會靈活運用，造成學生學習中的障礙。

實驗環(huán)境：計算機機房，一人一機。

實驗步驟：

（1）在幾何畫板中作出向量OA，OB；并作出OB的反向量OB'；

（2）構造以OA，OB'為鄰邊的平行四邊行，構造OA，OB'所夾的對角線OC，此向量為OA，OB'兩個向量的和向量，也是OA，OB'向量的差向量。

（3）平移OC向量，觀察OC向量與BA向量的關系。

（4）移動A、B至任意點，驗證OA-OB=OC=BA這一結論；（如圖2-1）

（5）度量A、B、C三點的坐標，改變A、B的位置，進一步驗證OA-OB=BA=（x1-x2，y1-y2）。（如圖2-1）

驗證性實驗強調演示和證明的活動。數(shù)學學習過程中有許多公式，定理是前人研究得出的結論。這些內容中，有的難以理解或證明。針對這些內容，可以設計一些針對性的驗證性數(shù)學實驗，給學生提供了一個全新的學習數(shù)學的環(huán)境，讓學生親自動手做數(shù)學，從而在感性認識的基礎上，再進行理性認識。

三、探索性實驗及案例

[案例3]：雙曲線的定義數(shù)學實驗。

在雙曲線的定義教學中，筆者從多年的教學經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)許多教師在教學中用折紙的方法的畫雙曲線，具體步驟是：

（1）首先準備一張紙，在紙上畫一個圓O，并在圓外取一點F。

（2）開始折紙，將圓周折起一角，使得圓周過F點。每一次折紙都有一條折痕，將這些折痕標記出來。（如圖3-1）

（3）反復進行不同的折紙，只要每一次讓圓周過F點就行。這樣你就可以得到一系列折痕，你會發(fā)現(xiàn)，這些折痕會呈現(xiàn)出一個雙曲線的輪廓。（如圖3-2）

這種折紙的數(shù)學實驗會帶來兩個疑問：一是從直觀上看，折紙的效果圖是雙曲線的一支，學生會誤認為是拋物線。二是從折紙的過程中，由于折紙的次數(shù)多，對點、線描述得不夠清晰，學生難以形成雙曲線的第一定義。

鑒于以上兩個問題，在教學中可以設計幾何畫板的數(shù)學實驗來模擬折紙實驗，來探求雙曲線的第一定義。實驗過程中引導學生將折紙的過程用幾何畫板展示出來。

實驗環(huán)境：計算機機房，一人一機。

實驗步驟：

（1）在幾何畫板軟件上畫一個圓F1和圓外一點F2；

（2）在圓上構造一點M，連接F2M，構造F2M的中垂線l（折紙實驗中的折痕）；（如圖3-3）

（3）依次選中點M和直線l，構造動畫，并追蹤l的軌跡；（如圖3-4）

在這個實驗中，整個實驗過程都是模擬傳統(tǒng)的數(shù)學折紙實驗，但效果顯然比傳統(tǒng)的折紙實驗好。從圖（3-4）可以看出，折出來的曲線是兩支，不是一支，不可能是拋物線，更重要的是，結合圖（3-3），曲線上的點P到兩個定點的距離F1、F2的距離差的絕對值是是定長|F1M|（定圓的半徑），即，|PF1PF2|=R<并且R|F1F2|。

這個實驗，在模擬折紙數(shù)學實驗的基礎上，學生在主動實驗中，親身感受了雙曲線的形成過程，從而深刻地理解了雙曲線的第一定義。

在數(shù)學教學中，特別是開放性教學中，符合條件的圖形或所求的結論往往是不唯一的。如何將錯誤的現(xiàn)象和結論排除掉，或將不清晰的數(shù)學現(xiàn)象、數(shù)學結論清晰明朗化，并最終進行嚴密的證明，形成正確的數(shù)學結論，傳統(tǒng)教學通常無法做到。利用幾何畫板軟件能較好地解決上述問題，它能顯示對象的“軌跡”，對動態(tài)對象的軌跡進行追蹤，使學生在實驗中看到軌跡形成的動態(tài)過程及軌跡變化的動態(tài)過程，為學生清楚地觀察數(shù)學現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論，探討數(shù)學問題創(chuàng)設了較好的實驗環(huán)境，從而激發(fā)學生的主體參與意識，利于學生探索正確的數(shù)學結論。

四、解題性實驗及案例

[案例4]：（2008年江蘇單招高考題）已知函數(shù)f（x）=lg（ax2+2ax+1）的定義域是全體實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

在實際教學中，對于類似的問題，筆者確實感覺到教學中的困難，通常同一類型的問題講解多次，學生還是會出現(xiàn)以下錯誤：一是不考慮a=0的情況；二是機械記二次方程或二次函數(shù)的判別式小于零；三是不會運用數(shù)形結合的思想。就這個問題而言，即要求出不等式ax2+2ax+1>0恒成立時，實數(shù)的取值范圍。引進數(shù)學實驗后，主要是引導學生畫出帶參數(shù)a的函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1圖像，通過改變a的值，觀察圖像的變化。參數(shù)a的變化，帶來圖形的變化，如圖4-1至圖4-5。圖4-1至圖4-5反應了參數(shù)a由負數(shù)、零、正數(shù)遞增的變化的過程中，函數(shù)圖像的隨著參數(shù)a變化過程。學生通過動手實驗，改變參數(shù)，觀察動態(tài)函數(shù)的圖像，很容易全面地理解這個問題，從而正確地解答出來。

在教學中，數(shù)學教師培養(yǎng)學生的解題能力是教學中的重點和難點。對于一些復雜的、難以理解的問題，適當?shù)匾M以幾何畫板為平臺的數(shù)學實驗往往能幫助學生更深入地理解問題，從而提高學生的解題能力。數(shù)學中還有許多問題解決的難點是突破口難以發(fā)現(xiàn)，或解得的結果不完整，在教學中可以引入數(shù)學實驗，讓學生一邊做數(shù)學，一邊研究數(shù)學，而不僅僅是做題，從而提高學生的解題能力。

通過以上四類實驗，不難看出以幾何畫板為平臺的數(shù)學實驗教學引入數(shù)學課堂，對培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣、增大教學信息量、拓寬認知途徑、改進概念教學、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識、訓練學生數(shù)學思維的能力和促進數(shù)學教學觀念的改變等諸多方面有積極的作用，從而最終改善數(shù)學課堂教學。

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