數學符號語言與自然語言的關系探微

摘要：數學符號語言脫胎于自然語言，自然語言為數學符號的產生提供條件，自然語言的缺陷使得人們探索簡明的符號來表達數學概念和數學關系。本文淺要分析了自然語言對數學符號的產生和發展的影響，并通過自然語言和數學符號語言的簡單對比顯示數學符號語言獨有的特點，最后類比漢字“六書”造字法將數學符號語言予以分類。

關鍵字：數學符號 自然語言

一、引言

《漢語詞典》中，對語言的解釋有“人類最重要的交際工具，是人類思維和表達思想的手段，也是人類社會最基本的信息載體，是人區別于其他動物的本質特征之一。它是以語音為物質外殼，以語詞為建筑材料，語法為結構規律而構成的符號體系。簡而言之，語言是人類進行溝通交流，傳遞信息的工具，是人類思維活動的載體。本文所說的自然語言是指由一定的歷史文化演變產生的語言，區別于人類為某種需要而創造的語言，如漢語、英語為自然語言，而計算機語言就是非自然語言。

數學語言是在自然語言的基礎上形成和發展的，是一種表達科學思維的載體。數學語言通常分為文字語言、符號語言和圖表語言。而數學符號語言作為數學語言中的最高抽象，具有鮮明的數學思維特征。數學符號語言正是為適應數學思維的需要而產生的，可以說，是非自然語言。但是數學符號語言是從自然語言演變而來，又可以說是自然語言的一部分。那么，數學符號語言與一般的自然語言究竟有哪些千絲萬縷的聯系？

二、數學符號語言與自然語言的關系

（一）數學符號語言源自于自然語言

人類語言發展到階級社會，產生了記錄語言的工具——文字，文字是語言的載體，已經發展了五千多年，文字的產生標志著人類步入文明社會。數學符號的產生比語言文字要晚很多，一般來說，16～17世紀在韋達、笛卡爾、萊布尼茨等數學家的努力下，才有了比較系統的數學符號。最初的數學符號是零散的，是文字的一部分。

數學中最早產生的概念是自然數的概念，最早產生的符號是數字符號。在文字產生以前，人們用實物來記數，如小石子、竹片等，以及結繩記數和刻痕記數。在文字產生以后，人們用文字記數，各個民族的文字差異也使記數符號有很大的區別。直到數字符號統一之前，各民族的數學符號與本民族的文字是交融在一起的，是建立在本民族語言文字基礎上的。例如，古埃及的數學系統源自于象形文字：我國古代的數系則是源自于甲骨文。就算是現行通用的數學符號很多也是取自于文字的縮寫或變形，如對數符號“log”是“logarithm”的縮寫：相似符號“∽”是“similar”的首字母變形。

（二）自然語言的缺陷導致數學符號語言的產生

自然語言為數學符號語言的產生提供了土壤，但是數學思維要求高度的嚴密性、抽象性和概括性，使得人們必然要尋求符合數學發展的語言。自然語言是在一定的生活背景和自然條件下形成的，不可避免的帶有區域性、民族性和模糊性。有的民族的自然語言本身書寫過于繁雜，不具有簡便通用性。像我國清末的數學家李善蘭等翻譯西方數學著作時，用漢字符號代替西方算學符號，這些符號不易書寫，艱澀難懂，最終被歷史所淘汰。我國古代數學在世界上處于領先地位，但是宋元以后的數學發展卻一度處于遲滯狀態，很多學者通過研究尖銳的指出，這是由于中國沒有適時的引進數學符號體系，中國的閉關鎖國和漢字本身的特點阻礙了我國數學的進步和發展。

拉丁字母簡便易書寫，具有很大的便利性，再輔以其他字母，就滿足了數學思維表達的需求。現行通用的數學符號有300多個，常見的有200多個。這些數學符號從產生到統一，經過了不同時期不同數學家長期努力，很多符號并不是一次創造完成的，而是經過了不斷的篩選，經歷了大浪淘沙，留存至今的精華。數學符號語言的產生便于數學知識的傳播，數學知識的應用和數學學科的飛躍式發展，也使人類語言學達到一種新的高度。

（三）數學符號語言與自然語言的辯證統一

數學知識是抽象的結果，但是抽象的思維沒有自然語言的支撐，無疑是沒有根基的大廈。例如最簡單的數學符號“1”，如果它獨立出現，就沒有任何意義，如果說“1個蘋果”“1箱梨”“1個工程”、……這就使“1”有了豐富的內涵。所以說數學符號雖然脫胎于自然語言，但是仍要依托于自然語言。

數學符號產生以后，并非脫離了自然語言，它和自然語言相輔相成，數學符號的傳播依然要借助自然語言，而數學符號的發展使自然語言彌補了自身的局限性，得到發展。

三、數學符號語言區別于自然語言的特征

（一）含義的確定性

自然語言的涵義是豐富多彩的，一詞多義是它的特色。但是數學的概念、命題和規則都要求科學性，嚴謹性。數學符號的表達則顯現出這樣的特點，每個數學符號都有其確定的含義，很少有歧義。例如，自然語言“18歲以下”，是否包含18歲是不明確的，需要作補充說明，而用數學符號“x≤18”，則清晰明確。雖然數學符號中也有表示多重意思的符號，如“+”可以表示“加號”，也可以表示“正號”，但是一般根據上下文其含義是可以判定的，并且數學符號中多重含義的符號不像自然語言的多義性那樣普遍。

（二）簡明性和抽象性

數學中復雜的運算關系、推理論證，各種概念、命題等，往往用簡單的數學符號就能簡明的表示出來，正是數學符號的這種特點，數學的符號語言才能夠世界通用，源遠流長。下表中，分別用數學符號和自然語言來表示數學中的一些簡單的概念，做一個簡單的比較。

從上表可以看出，數學符號語言的簡潔性，自然語言表達比較繁瑣，不便于記憶，而數學符號則克服了自然語言的缺陷，數學符號抽象性和概括性的特點，可以用簡單的字母來表示任何數。這樣不僅便于記憶，也便于數學概念的運用和表達。數學發展到現代，數學模型的建立，在高等代數的領域已經很難看到與現實生活為原型的基礎，數學本身的抽象性通過數學符號更好地展現出來。當然，理解這些數學符號語言是建立在掌握數學符號的基礎上，必要時，也需要添加文字幫助理解。

（三）統一性和通用性

數學符號語言雖然取自于某幾個民族的語言文字系統，但是，發展至今，它獨有的特點使它跨越國界，成為通用的語言，它的統一性和通用性是毋庸置疑的。當然，數學語言并不能完全克服自然語言的影響，有時需要遵循本民族語言的習慣。比如我國讀數時通常是四個數字為一個單位來讀的，分別以“萬”“億”作一個分段。像6，6666，6666讀作6億6666萬6666。而英語的習慣是三三分段，分別以以“million（百萬）”“thousand（千）”為一個分段，如666，666，666，讀作666 million 666 thousand 666。若遵從英語的習慣，中國人就要讀作六百六十六百萬，六百六十六千，六百六十六。這樣讀起來非常拗口，也容易產生歧義。

四、數學符號的分類

數學符號語言獨有的特點使它為數學的發展提供了動力，簡單明確的表達了數學思維。眾多的數學符號，各學者的分類標準不同，符號的歸屬類別也是不一樣的。例如，將數學符號分為：元素符號（表示數和幾何圖形）、運算符號（如四則運算等）、關系符號（表示數、式、圖和集合之間的關系）、結合符號（表示運算順序的符號）、約定符號（如階乘符號）和性質符號（表示數形的性質）。這種分類是現在普遍認可的，也有學者根據數學符號書寫和自身的意義，將數學符號與我國的“六書（漢字的造字六法）”進行類比作了分類，筆者結合自己的理解整理如下：

（一）象形

用文字的線條或筆畫，把要表達物體的外形特征，具體地勾畫出來。例如“月”字像一彎明月的形狀，“山”像山峰的形狀。

數學符號中如“△”表示三角形；“∠”表示角；“⊙”表示圓，“⌒”表示弧。這類數學符號主要是幾何符號居多。

（二）指事

與象形的主要區別是指事字含有繪畫中較抽象的東西。例如“刃”字是在“刀”的鋒利處加上一點，以作標示；“兇’字則是在陷阱處加上交叉符號；“三”則由三橫來表示。

數學符號中“∥”“⊥”表示兩條直線的位置關系，并不是表示平行或垂直本身；“=”表示均衡，大于、小于，某種數量關系中的相等。

（三）會意

會意字是指兩個或多個獨體字組成，以所組成的字形或字義，合并起來，表達此字的意思。例如“酒”字，以釀酒的瓦瓶“酉”和液體“水”合起來，表達字義。

相當于數學符號中全等符號“≌”，由相似符號“∽”和等號“=”結合，表達全等的含義；還有不等號“≠”；小于等于“≤”；大于等于“≥”，遠大于符號“ ”。

（四）形聲

形聲字由兩部分組成：形旁和聲旁。形旁是指示字的意思或類屬，聲旁則表示字的相同或相近發音。例如“櫻”字，形旁是“木”，表示它是一種樹木，聲旁是“嬰”，表示它的發音與“嬰”字一樣。

數學符號中用“Rt∠”表示直角，其中Rt是聲，是英文“right”（直）的縮寫，“∠”是形；數學符號中很多是文字的縮寫，如三角函數符號sin、cos、cot；表示最小最大的符號min、max；自然數的符號N。

（五）轉注

當兩個字用來表達相同的事物，詞義一樣時，它們會有相同的部首或部件。例如“考”“老”二字，本義都是長者；“顛”“頂”二字，本義都是頭頂；這些字有著相同的部首（或部件）及解析，讀音上也是有音轉的關系。數學中將根“root”首字母變形成根號的符號；積分符號“∫”是表示和“summa”的首字母拉長，任意符號“∨”是“any”的首字母倒過來加一橫表示。

（六）假借

假借已有的音同或音近的字來代表，這種跟借用的字的形義完全不合的字就稱為假借字。也就是文字的引申含義。數學符號中加減符號“+”“-”引申為正負號。

這種分類只是簡單的類比，數學符號中還有很多是約定的，如因為“∵”；所以“∴”；階乘“！”；……這些符號本身與表達的含義間沒有內在的聯系。不能將所有的數學符號硬套進“六書”分類法中。

（本文為教育部人文社科課題“文化視域下的數學課程思維及小學教師素養跟進研究”資助項目成果）