征服圓錐曲線解答題的有效策略探究

【摘要】圓錐曲線主要由三部分組成即為橢圓、雙曲線和拋物線，其定義為到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e的點的軌跡為圓錐曲線。在高考中，圓錐曲線是十分重要的內容，從歷年的高考試卷分析，圓錐曲線所占的分值還是很大的，并且圓錐曲線能與其他知識相互串聯起來和實際問題串聯起來，使得其綜合性較強，這給學生的解題能力帶來更高的要求。本文對圓錐曲線解答的方法進行了分析，提出了一些有效的建議。

【關鍵詞】圓錐曲線；橢圓；拋物線；雙曲線

0.引言

在學生學習圓錐曲線的過程中，很容易對圓錐曲線的概念出現混淆。另外學生對一些綜合性的圓錐曲線大題不能夠進行妥善的分析，抓不到解題中的關鍵點，特別是某些圓錐曲線大題會與實際生活中的一些問題串聯起來，從客觀上來說，這些題目的難度并不會特別大，但是學生由于缺乏一定的建模思維，因此在解題的過程中總是感覺很棘手。在歷年高考中，圓錐曲線都是重點內容，因此加強學生對圓錐曲線的理解，提高學生的圓錐曲線能力對于高中數學學習都是很有意義的[1]。

1.學生在學習圓錐曲線中容易出現的問題

圓錐曲線一直是高中數學教學中的重點、難點，但是只要通過妥善的方法還是能夠將其攻克下來的。很多學生在學習圓錐曲線的時候，沒有將圓錐曲線的知識點貫穿起來。圓錐曲線作為解析幾何中的一個重要分支，已經形成了一個較為完整的體系。橢圓、拋物線、雙曲線之間都存在著一定的聯系，既存在著不同，又存在著相似，而學生在學習的過程中只是單獨地對橢圓、拋物線、雙曲線進行分別的學習，沒有將三者進行關聯，因此在解決一些綜合性的大題的時候會遇到很大的阻礙。很多學生沒有掌握圓錐曲線的解題思想，其實教材中的“點的軌跡”、“圓錐曲線標準方程的推導”都是解題思想的側面反映，但是學生在學習的過程中卻沒有重視。另外學生并未重視圓錐曲線定義的學習，不能將圓錐曲線的標準方程與圓錐曲線的圖像進行良好的結合，甚至部分同學對于a、b、c的定義也了解。舉例來說，“雙曲線過點A（3，5）”其實這是解題過程中一個很有用的條件，可以很清晰地判斷出該點是在雙曲線上的，并且其坐標也是滿足雙曲線方程的，但是學生在解題的過程中卻往往忽視這個條件，于是學生會出現“無從下手的感覺”[2]。

2.圓錐曲線解答題的有效策略

2.1對圓錐曲線軌跡方程的解析

在圓錐曲線軌跡方程的解題過程中要遵循的步驟如下：對題目中的條件進行相應的分析，扣住關鍵點，并構建出相應的直角坐標系→題目要求什么就設什么，即設曲線上的某一點A（x，y）→根據設立的點A（x，y）構建出相應的等式。其中第三步是整個解題過程中的核心，在求等量關系的過程中一般會采用一下的方法：（1）坐標轉移法。坐標轉移法其主要內容是通過建立與條件相關的坐標公式、定比分點公式以及向量關系來進行求解。（2）直接法。直接法是根據點與線、點與點之間的距離來得出等式關系。（3）參數方程法。這是一種較為特殊的方法，先假設出與題目相關的參數方程，再根據題目中給出的固定點信息或者是關系信息來對這些參數進行消除，即可以得到所求的圓錐軌跡方程。（4）結合基本定義對題目進行求解，也就是我們所說的待定系數法。通過以下實例對圓錐曲線軌跡方程進行相應的講解[3]。

在△ABC中，AC、AB上的兩條中線長度之和為39，BC=24，求△ABC重心的軌跡方程。該題目是將圓錐曲線與三角知識進行了結合，扣住中垂線、重心等關鍵字眼利用曲線的相關定義來進行解析。設BC所在的直線為x軸，以中垂線BC為y軸建立符合題意的直角坐標系如圖1所示。M是該三角形的重心，于是可以得到以下關系：▏BM▕+▏CM▕= x39=26，通過以上等式就能夠說明點M的軌跡實際上是B，C為焦點的橢圓。那么a=13，c=12，b= =5。故所求的重心軌跡方程為 （y≠0）。

2.2圓錐曲線的最值問題

最值問題是圓錐曲線中的常見題型，在處理這類題目的過程中，可以結合函數的方法來進行解決。將題目中要求的最值轉變為含有變量的函數式，其中需要特別注意函數變量的取值范圍，這樣也就將圓錐曲線的最值問題轉變成了求函數的值域。以下題對該方法進行說明。如圖所示，在梯形ABCD中▏AB▕=2▏CD▕，點E分向量 所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當λ [ ， ]時，求雙曲線的離心率e的最值[4]。

圖2

根據題意將AB設為X軸，而AB的中垂線為y軸以此來建立相應的直角坐標系。雙曲線以A、B為焦點，設A（-c，0），利用雙曲線的對稱性可得C（ ，h），E（x0，y0）。設參數方程為 =1，那么e= ，在利用定比公式可得 x0=（λ-2）c/2（λ+1），y0=λh/（λ+1），將C、E的坐標代入雙曲線中，可以得到 2-2 =1。經過整理可得：e2/4#8226;（4-4λ）=1+2λ，即可以得到λ=1-3/（e2+2）。根據λ [ ， ]得到e的最大值為 ，其最小值為。2.3直線和圓錐曲線的位置關系

求直線和圓錐曲線的位置關系在圓錐曲線中也較為常見，這類問題的主要步驟是先設出圓錐曲線上的兩點M（x1，y2），N（x1，y2），再根據題目中的已知條件找到相關關系，以連立方程法與點差法對等量關系進行處理，以此來判斷直線和圓錐曲線的位置關系。

3.結語

圓錐曲線一直都是高中數學教學的重點內容，并且具有較大的難度，在歷年高考中都占有很高的分值，這需要引起學生和老師的重視。為了讓學生能夠更好地解題，不僅僅要向學生傳輸相關的答題技巧，以提高學生的解題水平，并且還要讓學生具備良好的學習態度以及學習習慣，這將給整個高中數學教學會帶來很大的促進作用。

參考文獻：

[1]劉智強，朱哲.數學教學要在“再創造”上下工夫——圓錐曲線概念教學的一種創新設計與思考[J].中學數學，2012（09）：112-113.

[2]應向明.不可忽視的圓錐曲線幾何性質——范圍[J].數學教學研究，2011（12）：167-168.

[3]張鴻斌.直線與圓錐曲線問題的處理方法[J].中學生數理化（教與學.教研版），2012（08）：148-149.

[4]周松.一節沒有完成教學目標的數學課——圓錐曲線探索性教學一例[J].數學教學研究.2013（08）：114-115.