巧用數(shù)學(xué)思想方法解選擇題

【摘 要】在高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題位于卷首，占總分的三分之一I，它屬于“小”題，其解答 “不講過程”，其基本解答策略是：充分利用題干和選項(xiàng)所提供的信息作出判斷。選擇題的解決思想是：先定性后定量、先特殊后推理、先間接后直接、先排除后求解，其常用方法有直接法和間接法兩種。但高考題題量較大，如果所有的題都采用直接法不但時間不允許，而且有些題目根本無法解決，這是不明智之舉。因此要探究解選擇題的其它方法，盡量避免“小題大做”。在考場上，提高選擇題的解題速度，也是一種得分。

【關(guān)鍵詞】選擇題 數(shù)學(xué)思想方法

近年高考選擇題減少了偏題、怪題，適當(dāng)增加了技巧性強(qiáng)且運(yùn)算量大的題型，著力考查學(xué)生的邏輯思維與數(shù)學(xué)思想方法，以及觀察、分析、比較、選擇簡捷運(yùn)算方法的能力，突出了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。試題以認(rèn)識型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解，也可用 “特殊”方法求解。

要想確保在有限的時間內(nèi)，對10個選擇題作出有效的抉擇，解題方法的研究就顯得十分必要的。當(dāng)然有關(guān)選擇題解題方法的研究，可謂是仁者見仁，智者見智。其中不乏真知灼見，現(xiàn)選擇部分實(shí)用性較強(qiáng)的方法，供讀者參考：

一、直接法

有些選擇題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的。這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，運(yùn)用已知條件、有關(guān)概念、性質(zhì)、公理、定理、法則及相關(guān)公式等知識，通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼⒑侠淼尿?yàn)證得出正確的結(jié)論。涉及概念、性質(zhì)的辨析題或運(yùn)算較簡單的題目常用此法。

【例1】、（2013年全國卷） 的內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 ， ， ，則 的面積為（）

A、 B、 C、 D、

解析： ， ， 。由正弦定理 ，得 。 。 答案選（ ）

點(diǎn)評：直接法是解答選擇題最常用的基本方法。直接法適用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得出正確的答案。平時練習(xí)中應(yīng)不斷提高用直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確把握題目的特點(diǎn)。用簡便的方法巧解選擇題，是建立在扎實(shí)掌握“三基”的基礎(chǔ)上的。否則一味求快則會塊中出錯。

二、特殊值法

從題干（或選項(xiàng)）出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才能使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等。

【例2】、（2008年山東卷）設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集N，映射f：A，B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，則在映射f下，象20的原象是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

解析：由題意知對于A中n，應(yīng)使2n+n=20，n可能取的值為2、3、4、5，故代入驗(yàn)證即可。答案選（C）。

點(diǎn)評：特殊法具有簡化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點(diǎn)：

第一，取特例盡可能簡單，有利于計(jì)算和推理；

第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解。

三、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過對圖形的理解和認(rèn)識，建立抽象概念與具體形象的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為對用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)由抽象到具體的轉(zhuǎn)化. 在解答選擇題的過程中，可先根椐題意，作出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論。圖形化策略就是以數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的一種解題策略。

【例3】、（2012年湖北卷）設(shè)函數(shù) 其中 表示不大于 的最大整數(shù)，如 ， 等。若直線 與函數(shù) 的圖像恰有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（）

A、 B、 C、 D、

解析： 恒過定點(diǎn) ，

在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 的

圖像和直線 ，如圖所示，因

為兩個函數(shù)圖像恰好有三個不同的交點(diǎn)，

所以 ，故選（B）。

點(diǎn)評：涉及函數(shù)零點(diǎn)問題，一般有兩種題型，且都可以利用數(shù)形結(jié)合求解：（1）求解方程根的個數(shù)。畫出相關(guān)的兩個函數(shù)的圖像，則兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)即是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（2）討論圖像交點(diǎn)問題得參數(shù)范圍，如本例就是利用圖像中直線 與函數(shù) 圖像恰有三個不同的交點(diǎn)，得到實(shí)數(shù) 的取值范圍。

四、概念辨析法

概念辨析法是從題設(shè)條件出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)概念的辨析，進(jìn)行少量運(yùn)算或推理，直接選擇出正確結(jié)論的方法。這類題目一般是給出一個創(chuàng)新定義，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性質(zhì)，需要考生在平時注意辨析有關(guān)概念，準(zhǔn)確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延，同時在審題時多加小心。

【例4】、若對于定義在 上的函數(shù) ，其圖像是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù) 使得 對任意實(shí)數(shù)都成立，則稱 是一個“ 伴隨函數(shù)”。下列是關(guān)于“ 伴隨函數(shù)”的結(jié)論：① 不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“ 伴隨函數(shù)”；② 不是“ 伴隨函數(shù)”；③ 不是“ 伴隨函數(shù)”；④“ 伴隨函數(shù)”至少有一個零點(diǎn)。其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

解析：由題意得，①正確，如 ，取 ，則 ，即 是一個“ 伴隨函數(shù)”；② 不正確，若 是一個“ 伴隨函數(shù)”，則 ，求得 且 ，矛盾；③ 不正確，若 是一個“ 伴隨函數(shù)”，則 ，求得 且 ，矛盾；④正確，若 是“ 伴隨函數(shù)”，則 ，取 ，則 ，若 任意一個為0，則函數(shù) 有零點(diǎn)；若 均不為0，則 異號，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間 內(nèi)存在零點(diǎn)，所以有兩個結(jié)論正確。故選（B）。

點(diǎn)評：函數(shù)的創(chuàng)新命題是新高考的一大亮點(diǎn)，此類題型是用數(shù)學(xué)符號、文字?jǐn)⑹鼋o出一個教材之外的新定義，如本例中的“ 伴隨函數(shù)”，要求考生在短時間內(nèi)通過閱讀、理解后，解決題目給出的問題。解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握新定義的含義，把從定義和題目中獲取的信息進(jìn)行有效整合，并轉(zhuǎn)化為熟悉的知識加以解決。

當(dāng)然，僅僅有思路、方法還是不夠的，“解題思路、方法”在某種程度上來說，屬于理論上的“定性”，要想解具體的題目，還得運(yùn)用科學(xué)、合理的方法，具體分析研究加以解決。