讓概念從自然處生長

這是筆者上的一節公開課，所教學生屬于全市的中等水平.備課時的設計和真實情況偏差較多，這個偏差也集中體現了新老兩種教學理念的沖突，故記錄成文，供同行參考.

1 引入

剛剛我和一個同學聊天，談到在高中學數學的感受，他說和初中比，太抽象了.其實，所有的數學概念，都源于自然.就像數字1，人們首先看到的是一棵樹，一支筆，一匹馬，一輛車，漸漸才抽象出了數1，然后才有了“1”這個符號，有了1，才有了2，3……然后開始定義加法，減法.0的出現要晚很多年，然后有了負數，分數，無理數.所以說，數學概念，就是對自然對象的高度抽象，今天，我們要類比對數字的研究，來研究一個新的數學體系.（畫示意圖）

報道：“6號選手是來自二中的王明同學，他身高176公分，體重70.5公斤，今年17歲.發令槍響，他從起跑就一路領先，并且在途中不斷加速，最終率先沖過100米終點，用時13秒....頒獎儀式上，他用力舉起了獎杯.”

2 新課

2.1 概念引入

問題1 找出其中的量？

引導發現：平均速度.其實還是初速度，加速度，起點到終點的位移，向上的力.

問題2 這些量和數量的區別？

問題3 你還能舉出一些這樣的量嗎？

引導 你能概括這些量的共同點，并給它們一個定義嗎？（板書概念）.

2.2 表示法

問題4 請同學上黑板來表示一個“向右0.5個單位長度”的向量.

引導 （1）端點；（2）箭頭；（3）模長：類比線段長度的表示法；（4）字母；（5）字母順序；（6）單位1：再表示“向右1.5個單位長度”作為提示.

小結 “數形結合”

2.3 兩個特殊的向量

我們終于認清了向量的本來面目，也知道該如何表示向量了，現在，我們要面對的，就是一個龐大的向量集合了.就像人類當初面對數集一樣.

問題5 我們首先要面對哪些基本而重要的向量？

引導 零向量和單位向量.

奠基 我們必將面對向量運算.

2.4 共線向量，相等向量，平行向量，相反向量等的定義

問題6 在例題中（正六邊形）任意找兩個向量，說明這兩個向量之間的聯系.

引導 讓學生自己去定義共線向量，相等向量，平行向量，相反向量.同時要引出自由向量的意義.

規定 零向量與任意向量平行.（為什么？）

平面向量第一課，給很多老師的感覺是“知識瑣碎，但不難教”.原因估計有以下兩個：①學生在物理中已經學過矢量，有很多的現成經驗可以遷移.②知識本身是告知性的，并且不難理解.筆者一開始也是帶著這樣的想法，結合自己的一些思考，給出了以上的備課設計.備課到這里其實只是把課本內容簡單展現出來，筆者在后面其實還準備了幾個例題，準備當前面內容結束太快時使用.但事實情況卻出乎意料，在講到相反向量時就已經45分鐘了，例題完全沒做，后面的收尾總結其實也是草草結束.

實錄和感受：

（1）在學生眼中，數量和矢量是兩碼事，不具有統一性.這與我們的想法是不一樣的.在引例中，學生對于找“量”這個要求，首先關注的還是身高，體重，年齡這些數量，直到老師追問“還有別的量嗎？”，才開始反應出速度，加速度，力這些矢量.追問其實就是一種暗示，這充分說明兩種量在學生的觀念中還遠未達到對立統一的高度.

從現實生活中收集數據，分類數據，處理數據，是新課程中對于培養學生數學能力的一個新要求，它突出反映了新時代對于數據處理的重視程度.所以，在課堂上就應該讓學生有這樣的體驗過程，教師要主動提供這樣的素材.也有案例中使用的是直接提問“數量和矢量有什么差別？”，“速度這個量有什么特點？”等問題，從物理一下子跳到數學，直白的給出向量概念.筆者認為，這個收集和分類數據的過程不僅不宜跳過，最好還要讓學生自己再舉一些數量和向量的例子，因為正是從這里開始，學生不經提示，開始主動思考數量和向量的差別，第一次在統一的高度上對量進行了分類.

（2）沒有什么知識是顯然的，概念就應該從細微處入手.

在表示法上，所用時間大大超出預期.由于學生沒有預習，筆者也完全放棄了“告知”

這種教法，所以表示法的每一個細節上基本都是由學生一點一點討論補充而來的.

師：請同學上黑板來表示一個“向右0.5個單位長度”的向量.

事實上整個過程中每個問題都不是一氣呵成的，幾乎處處有停頓，使得處理完這個部分時已經過去了25分鐘.這與我一開始的設計發生了較大的偏差，本來以為學生學過矢量，在這一塊上是很容易通過的，結果這些知識“瑣碎且難教”.如果只是告知，難度不會這么大，但同時學生也錯過了主動參與知識建構的過程.

作為一節概念課，教師要具備這樣的教學意識：沒有什么是顯然的，更不應該輕易的告訴學生，就是這么規定的.因為每個規定都有它必然的原因，這些必然也是概念的一部分.應該讓學生在設定的范圍內充分的思考，試錯，討論，然后形成共識.在這里所花的時間是值得的，更是必要的.“一個定義，三個注意”的時代，應該一去不復返了.

（1）從感性認識到理性分析，從感受到表達，從觀察到歸納的過程，教師不能越俎代庖.

師：在正六邊形中找兩個向量，說明它們之間的關系.

課后筆者反思，如果直接給出三組向量，讓學生根據定義判定，肯定更實用一些但效果會更好一些嗎？但是至少從實際情況來看，如果省去讓學生感受和觀察的過程，直接進入分析和歸納，那么其課堂價值就和“直接告知”沒有區別了.

縱觀整節課，從頭到尾幾乎就沒有什么順暢的地方，在每一個概念構建的過程中，都充滿了對與錯的碰撞.以學生為主體的課堂，就不可避免的要經歷這些個迷茫探索的過程，要讓學生最終成為一個獨立的學習者，教師也就最終要從帶著走變成指著走.這就要求教師不能從自己的經驗出發，“事實上，由于數學概念的高度抽象性，對任何一個貌似簡單的概念，學生往往都要費很大周折才能理解.許多教師對此不能保持高度警覺，常常認為自己容易的學生也然，沒有意識到自己的“容易”是經歷了千辛萬苦、長期積累才得到的.”[1]

學習能力的養成，要靠一點一滴的培養，課堂作為主戰場，怎能不讓學生經歷迷茫探索和痛苦思考的過程.迷茫探索會讓學生理解學習的過程，痛苦思考會讓學生體會靈光一現的快樂.千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙使得金.

參考文獻

[1]章建躍，陶偉林.概念教學必須體現概念的形成過程——“平面向量的概念”的教學與反思.數學通報，2010（1）：25-29