例談利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線解題

摘 要：筆者在一次測驗中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于一道經(jīng)典題的解答錯誤率極高。筆者對學(xué)生的錯誤情況和原因進行了分析并反思自己的教學(xué)，從而產(chǎn)生了一些思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)； 幾何題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）06-011-002

題目：已知正方形ABCD，E是BC上一點，F(xiàn)是CD上一點，且∠EAF=45°，求證EF=BE+DF

一、錯誤分析

1.基本思路未形成

結(jié)論是一個不對稱式，解決的思路是化成對稱式。方法有兩種，①是將等式左邊的EF分成兩段分別證與等式右側(cè)兩段分別相等。②是將等式右側(cè)的兩條線段合成一條線段與等式左側(cè)相等。解答中，學(xué)生選擇①，在EF上取點G，使EG=BE。然后認為一定能夠能證明，麻醉自己，得證。

2.基本思維不能突破

從心理學(xué)角度講在原有圖形上添設(shè)輔助線條件容易想到，拓展在圖形外添設(shè)輔助線這一點很難突破，這也是學(xué)生為什么只是作AQLEF或EG=BE連AG的重要原因，基本思維學(xué)生有待突破。

二、教學(xué)反思

上述出現(xiàn)的問題，對教師提出了一定的要求。筆者在讓學(xué)生突破上述兩個問題時，除了加強對證明的思路的培養(yǎng)外，更要加強學(xué)生解決問題途徑的拓展及思路的引導(dǎo)。如何添設(shè)輔助線在此類問題中感覺到尤為的重要。下面通過一些例題，談?wù)勅绾卫眯D(zhuǎn)變換作輔助線解決此類問題。

通過添設(shè)適當?shù)妮o助線，將圖形中分散、遠離的元素，通過變換和轉(zhuǎn)化，使它們相對集中、聚攏到有關(guān)圖形上來，使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系，從而推導(dǎo)出要求的結(jié)論。旋轉(zhuǎn)變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時，可以把圖形的某部分，繞相等鄰邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用在等腰三角形、等邊三角形及正方形中。

1.用旋轉(zhuǎn)變換添設(shè)輔助線在等腰三角形中應(yīng)用

例1：已知，如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上任一點。

求證：2AD2=BD2+CD2

分析：由于求證的結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段不集中，如圖3，可以把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，從而使三條相對應(yīng)的線段都出現(xiàn)在△DEC中，從而得證。當然還可以把△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°也可。

2.用旋轉(zhuǎn)變換添設(shè)輔助線在等邊三角形中應(yīng)用

例2：已知如圖4，P是等邊△ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=4，PC=5。 求∠APB的度數(shù)。

分析：PA，PB，PC三邊為3，4，5，是一組勾股數(shù)，但不組成直角三角形。因此我們設(shè)法用旋轉(zhuǎn)組成直角三角形。如圖5，把△APB繞A點旋轉(zhuǎn)60°到△AGC，則∠APB=∠AGC，連結(jié)PG，可證△PGC三邊為3，4，5，得直角三角形，∠APB=∠AGC=150°可求。

例3：已知，如圖6，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，AD= BC，對角線AC、BD相交于O，∠AOB=60°，且E、F、M分別為OD、OA、BC的中點，求證：△MEF是等邊三角形

分析：題中要證△MEF是等邊三角形，例2中的圖形輔助線可以給我們啟發(fā)，如圖7構(gòu)造類似的圖形，通過找DB，OB的中點Q，N，連接FN，MN，MQ。通過證明能得△MNQ為等邊三角形，△FNM≌△EQM，從而得到△MEF是等邊三角形。這道題的方法比較多，這是其中利用旋轉(zhuǎn)理念解決問題的一種方法。

3.用旋轉(zhuǎn)變換添設(shè)輔助線在正方形中應(yīng)用

篇首題目就是一個經(jīng)典的例子，如圖8分析：將Rt△ADF繞點A旋轉(zhuǎn)90°使F旋轉(zhuǎn)至G，證明△AGE≌△AFE，即證EF=GB+BE=BE+DF

例3：如圖9，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分∠CBE交CD于F。

求證：BE=CF+AE

分析：結(jié)論中的線段比較分散，如圖10，可以通過把△BCF繞B點旋轉(zhuǎn)90度到△BAF’，再通過證明∠F’=∠EBF’得F’E=EB，從而得證。

以上問題均是利用旋轉(zhuǎn)使問題得到解決。旋轉(zhuǎn)是指在原題的基礎(chǔ)上把原題的一部分或幾部分繞某一頂點旋轉(zhuǎn)圖形，旋轉(zhuǎn)的圖形、角度、頂點都是由原圖特征確立的。一般的來說，旋轉(zhuǎn)主要是使一些有相近特征的圖形并在一起，以便作共同特征的利用。通常旋轉(zhuǎn)針對一些有相等條件（嚴格的可供旋轉(zhuǎn)）的圖形的輔助線的添設(shè)。

三、提煉思想

思想方法是以知識為載體，在運用知識解決問題的過程中積累而形成的，它的價值不亞于知識本身。利用旋轉(zhuǎn)來添設(shè)輔助線是一個非常重要的思想方法，就是轉(zhuǎn)化的思想。就輔助線的添設(shè)而言，為什么要進行這樣的添設(shè)，其實他是有一個內(nèi)驅(qū)力的，這個內(nèi)驅(qū)力就是數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化的思想方法，對于學(xué)習(xí)其他知識也是非常有幫助、有借鑒之處的。

變幻無常的幾何題，是許多學(xué)生頭疼的問題。不是因為幾何題本身，而是由于它需要變幻無常的輔助線。輔助線，猶如一個虛設(shè)的橋梁，只要你正確的“搭出”，一切問題便可迎刃而解。由此說來，輔助線至關(guān)重要。而“搭”輔助線，卻是幾何學(xué)又一難點。筆者剛才就利用圖形的旋轉(zhuǎn)來添設(shè)輔助線做了一些探究，只是一次拋磚引玉。和同行們一起探索如何指導(dǎo)學(xué)生添設(shè)好輔助線，從而為學(xué)生學(xué)好幾何打下一個很好的基礎(chǔ)。