以操作活動為依托 引導學生構建數學模型

下面，結合《用連減解決問題》一課談談如何借助有效的操作活動，幫助學生構建模型。

一、創設問題情境，激發建模興趣

數學模型都是具有現實生活背景的，要建模首先要對生活原型有充分的了解，創設與學生的生活、知識背景密切相關，并且感興趣的學習情境，讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識的產生、形成與發展的過程。教學中，“問題情境”創設如下：

播放《小猴下山》的動畫片，調動學生的積極性，活躍課堂氣氛。以小猴子再次下山為背景，創設小猴子摘桃子的情境。

這一情境符合學生的興趣和需求，且與他們的思維、想象力相協調，學生在這樣的情境中，很快激起強烈的情緒，形成無意識的心理傾向，情不自禁地投入操作活動中。

二、引出數學問題，培育建模基礎

是在教師的引導下，將生活問題數學化，提出相關的數學問題。這是一個從生活到數學、從具體到抽象的過程。它不僅有利于密切數學與生活的聯系，而且有利于培養學生抽象的概括能力，讓學生學會從數學的角度提出問題和理解問題，發展學生的應用意識。這就要求我們善于在具體問題情境中捕捉時機，加以引導，抽象概括出相關的數學問題，構建起簡單的數學模型，為后面解決問題提供一個明確的目標和科學的導向。

教學中，“問題情境的研讀”如下：

師：通過觀察你能發現哪些數學信息？

信息：樹上一共有24個桃子，第一次摘了8個桃子，第二次摘了6個桃子。

師：根據這些信息，你能提出一些數學問題嗎？

問題1：一共摘了幾個桃子？

問題2：樹上還剩幾個桃子？

……

上述教學片段，學生經歷了數學問題生活化的過程。通過“根據這些數學信息，你能提出哪些數學問題？”引導學生“發現數學信息——探尋信息之間的關系——提出數學問題”，幫助學生順利實現“生活問題”到“數學問題”的轉化，培育建模基礎。

三、借助操作活動，感知數學模型

學生對數學知識的學習，是一個復雜的過程，也是一個主動構建的過程。只有學生將間接經驗轉化為頭腦中的相應的認知結構時，學生自主建構數學建模才能成為一種可能，而操作活動對于知識的構建起著積極主動的作用。通過操作活動，將抽象問題變得形象具體，為學生積極探究，主動獲取知識提供機會；通過操作活動，借助感性認識，促進理性認識，進一步理清思路、澄清認識。所以教師要創造條件，讓學生借助操作活動這一平臺，從具體到抽象、從感性到理性建構新知識，引導學生恰到好處地運用感性材料，為建立清晰準確的數學模型打下良好的基礎。教學中，此過程如下：

師：同學們你們能自己分析并解決這個問題嗎？如果遇到困難，你可以借助手中的學具，或者畫一畫來幫助你解決這個問題。

生選擇自己喜歡的方式動手嘗試解決問題。

畫一畫：

擺一擺：

這一環節的教學，通過學生的操作活動，實現“數形結合”，達到化難為易，化抽象為直觀的目的，幫助學生直觀形象地理清數量之間的關系，架起信息與信息之間、信息與問題之間的內在聯系，從直觀的形中去領悟抽象的數學結論，促使學生有效建構數學模型。

四、自主解決問題，構建數學模型

1.學生嘗試解決，換起舊知模型

依據構建主義的觀點，知識必須由學生基于自身的經驗，構建新的數學知識和掌握數學方法。只有舊知模型被調用，才能為構建更高一級的法則模型發揮重要作用。隨著知識的不斷更新，學生頭腦中的認知結構不斷得到重組優化，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統一，使得數學模型更具有了概括性的特征。教學中，設計如下：

學生嘗試解決的過程中，出現的解法：

方法一：24-8=16（個） 16-6=10（個）

方法二：24-8-6=10（個）

師：這兩種算法有什么相同點和不同點？

生分析比較，喚起舊知模型。

這一環節的教學，通過老師的追問，喚起學生對舊知模型——“總數-一部分-另一部分=還剩多少”的回憶，既激活學生已有的認知經驗，了解學生的學習起點，又幫助學生準確把握新、舊問題的銜接點，找準“新問題”的生長點，有利于運用遷移規律，以舊引新。

2.學生創造符號，感知新知模型

數學教學，不僅要讓學生掌握知識，而且要讓學生去反思知識，詰問知識，批判知識，以此來發展學生的智慧和個性。因此在學生構建出連減問題的舊知模型后，還要組織學生將數學模型進行適度的生成、拓展和重塑，派生出新的數學模型。教學時，設計如下：

方法三：8+6=14（個） 24-14=10（個）

師：可以把這種方法改寫成一道綜合算式嗎？

出現錯誤解法：24-8+6=10（個）

教師鼓勵學生創造一個符號，把8+6放進去讓它先算。通過學生努力創造出小括號，同時產生新的數學模型。

學生的學習過程，既是一個認知過程，又是一個探索過程，將學生學習由“吸收——儲存——再現”轉化為“探索——研討——創造”。此環節中，通過學生思維的碰撞，發現矛盾，在教師的引導下，學生動腦創造符號，見證一個新符號的誕生過程，初步構建出“總數-（兩部分的和）=還剩多少”這一新知模型。

五、重視思想方法，優化建模過程

不管是數學概念的建立、數學規律的發現、還是數學問題的解決，核心問題都在于數學思想方法的運用，它是數學模型的靈魂。重視數學思想方法的提煉與體驗，可以催化數學模型的建構，提升建構的理性高度。教學時，此過程如下：

教師引導學生采用綜合、分析法優化構建數學模型的過程。

這一環節，教師通過引導學生進行觀察與比較、抽象與概括，借助綜合、分析法提煉出連減問題模型背后所蘊含著的結構性知識，并運用形式化的數學符號優化連減問題的數學模型。

六、運用數學模型，解決實際問題

新的模型通過解釋、評價自然地納入學生已有知識體系中，并化作自己的解題經驗，這是認識上的飛躍。讓學生將求得的數學模型放到生活中檢驗，用建立的數學模型來解決實際問題，體會數學模型的應用價值，體驗所學知識的用途和益處，這是建模的根本目的。

教學中，從以下幾個層次運用數學模型：

1.基本練習，鞏固新知——運西瓜

2.拓展練習，揭示本質——掰玉米

玉米地里有36個玉米，第一次摘走了12個，第二次摘走了8個，地里還有多少玉米？

3.延伸練習，靈活運用——結合生活，編用連減解決的問題

通過由易到難的梯度訓練，讓學生對連減問題的數學模型得到初步的鞏固和訓練，形成一個完整的知識整體。

通過對連減問題的模型建構，我們深刻認識到，以操作活動為依托，不僅能夠擴展數學教學直觀手段的內涵與外延，而且有效調和了數學知識抽象性與兒童思維形象性的矛盾，幫助學生綜合應用已有的知識和經驗，鍛煉學生構建數學模型解決實際問題的能力。