因式分解方法的探究

【摘要】本文通過理論與實(shí)際例題相結(jié)合，闡述了多項(xiàng)式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f在實(shí)數(shù)集中分解因式的方法：待定系數(shù)法、求根公式法、十字相乘法、復(fù)數(shù)開方法、綜合除法等，從而展現(xiàn)了多項(xiàng)式因式分解的多樣化與靈活性。

【關(guān)鍵詞】多項(xiàng)式因式分解方法

【中圖分類號】G712 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）18－0162－01

所謂多項(xiàng)式的因式分解，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)最簡整式的積的形式。同一個(gè)多項(xiàng)式在不同的數(shù)集中因式分解的結(jié)果可能不同，本文僅討論多項(xiàng)式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f在實(shí)數(shù)集中的因式分解。

在中學(xué)代數(shù)中，我們已學(xué)過提取公因式法，運(yùn)用公因式法、分組分解法，可化為x2＋（a＋b）x＋ab型的二次三項(xiàng)式的因式分解、十字相乘法等最基本也是最常用的方法。本文在這些基本方法的基礎(chǔ)上，再介紹一些進(jìn)行因式分解的方法，以饗讀者。

一 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法就是根據(jù)恒等式的性質(zhì)按下列步驟解題的一種方法：（1）假定一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式的性質(zhì)列方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)。

這里所根據(jù)的恒等式的性質(zhì)有兩條：（1）a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an＝b0xn＋b1xn－1＋bn，則a0＝b0，a1＝b1，…，an－1＝bn－1，an＝bn；（2）若f（x）＝g（x），則用公共定義域內(nèi)的任一值代入，左右兩邊恒相等。

下面僅舉一例說明此方法。

例1，把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：設(shè)原式＝（x＋ky＋l）（x＋py＋q）

＝x2＋pxy＋qx＋kxy＋kpy2＋kpy＋lx＋lpy＋lq

＝x2＋（p＋k）xy＋kpy2＋（l＋q）x＋（kq＋lp）y＋lq

與原式比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得方程組：

解得

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x＋2y－1）（x－y＋3）

對于解決二元二次式Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F在實(shí)數(shù)集內(nèi)的因式分解，用待定系數(shù)法還有一種簡便方法：即第一步先分解Ax2＋Bxy＋Cy2＝（ax＋by）（dx＋ey），第二步分解二次三項(xiàng)式Ax2＋Dx＋F＝（ax＋c）（dx＋f）或第二步分解Cy2＋Ey＋F＝（by＋c）（cy＋f），則原式＝（ax＋by＋c）（dx＋ey＋f）。第一步分解Ax2＋Dx＋F＝（ax＋c）（dx＋f），第二步再分解關(guān)于y的二次三項(xiàng)式Cy2＋Ey＋F＝（by＋c）（cy＋f），則原式＝（ax＋by＋c）（dx＋ey＋f），下面仍以例1為例說明此法。

例2，把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：x2＋xy－2y2＝（x＋2y）（x－y）

－2y2＋7y－3＝（2y－1）（－y＋3）

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x＋2y－1）（x－y＋3）

顯然用這種方法可簡化解題過程，但在運(yùn)用此方法時(shí)應(yīng)注意兩種情況：（1）當(dāng)Ax2＋Bxy＋Cy2或Ax2＋Dx＋F或Cy2＋Ey＋F的各項(xiàng)含有1和－1以外的常數(shù)公因子時(shí)，分解成的兩個(gè)一次因式的各項(xiàng)系數(shù)就不是唯一確定的，分解時(shí)應(yīng)放棄此式而用另外兩式。（2）第一步分解Ax2＋Bxy＋Cy2得到的兩個(gè)一次因式：如果x的系數(shù)相同，第二步就要分解Cy2＋Ey＋F；如果y的系數(shù)相同，第二步就要分解Ax2＋Dx＋F。

二 求根公式法

我們以分解二元二次多項(xiàng)式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f（a≠0）為例說明此法，對f（x，y）進(jìn)行實(shí)分解的程序是：（1）把f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f（a≠0）式整理成f（x，y）＝Ax2＋B（y）#8226;x＋c（y）的形式，其中（A＝a≠0，B（y）＝by＋d，C（y）＝cy2＋ey＋f）。（2）寫出f（x，y）＝Ax2＋B（y）#8226;x＋c（y）的判別式△＝［B（y）］2－4Ac（y）并整理成△＝A1y2－B1y＋c1的形式。（3）若A1≠0，則當(dāng)△＝A1y2－B1y＋c1的判別式△＝B12－AA1C1＝0且A1＞0時(shí)或A1＝0，則當(dāng)B1＝0且C1＞0均可解出方程f（x，y）的兩個(gè)形如x1＝my＋n，x2＝uy＋v的根。（4）寫出分解式f（x，y）＝a（x－my－n）（x－uy－v），下面用此方法對例3作出解答。

例3把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。

解：x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝x2＋（y＋2）x－2y2＋7y－3

∵方程x2＋（y＋2）x－2y2＋7y－3＝0的兩根

x 1，2＝

＝

即x1＝y(tǒng)－3，x2＝－2y＋1

∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x－x1）（x－x2）＝（x－y＋3）（x＋2y－1）。

三 十字相乘法

下面介紹實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的因式分解的十字相乘法，此法具有計(jì)算簡單、方法通俗易懂的特點(diǎn)。假設(shè)f（x，y）能分解為：f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q），于是有f（x，y）＝（a1x－my）（a2x－ny）－（a1q＋a2p）x＋（mq＋np）y＋pq，顯然二次項(xiàng)部分為ax2＋bxy＋cy2＝（a1x－my）（a2x－ny），由如下的十字相乘：

a1x －my

a2x －ny

而獲得，至于一次項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)則必須滿足

因此，當(dāng)a2m－a1n≠0時(shí)，由（1）（2）可解得p，q，如果pq＝f成立，則f（x，y）可用十字相乘法分解。

a1x－my －p

a2x－ny －q

得f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q）

如果pq≠f，則f（x，y）不能用十字相乘法分解。這樣我們給出了f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f式用十字相乘法進(jìn)行因式分解的一般方法和步驟。

第一步：將ax2＋bxy＋cy2因式分解，

a1x －my

a2x －ny

得f（x，y）＝（a1x－my）（a2x－ny）

第二步：計(jì)算p，q的值，如果pq＝f，則有十字相乘法：

a1x－my －p

a2x－ny －q

得f（x，y）＝（a1x－my－p）（a2x－ny－q）

若pq≠f，則f（x，y）不能分解。

例4，用十字相乘法把f（x，y）＝4x2＋10xy－6y2－6x－25y－4因式分解。

解：由4x2＋10xy－6y2＝（4x－2y）（x＋3y）得

a1＝4，m＝2，a2＝1，n＝－3

解方程組

解得p＝8，q＝－ 。

∵pq＝8×－ ＝－4＝f

故有4x－2y －8

x＋3

于是得f（x，y）＝（4x－2y－8）（x＋3y＋ ）

注：本題如果在第一步中取a1＝1，應(yīng)有m＝－3，a2＝4，

n＝2，p＝－ ，q＝8，則f（x，y）的各解結(jié)果完全相同，

這說明在第一步中哪一個(gè)作為a可以任選，只要保證a1a2＝a，但一經(jīng)選定，其余m，n，a2，p，q就相應(yīng)地完全確定。

例4也可以用雙十字相乘法分解。

4x2＋10xy－6x＝（4x－2y）（x＋3），－6y2－25y－4＝

（－2y－8）（3y＋ ），由如下的十字相乘法而得到：

4 －2 －8

1 3

∴f（x，y）＝（4x－2y－8）（x＋3y＋ ）

四 復(fù)數(shù)開方法

眾所周知，多項(xiàng)式x2＋x＋1或x2－x＋1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是不能進(jìn)行因式分解的，然而，以下一些多項(xiàng)式x4＋x3＋x2＋x＋1；x4－x3＋x2－x＋1；x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1；x6－x5＋x4－x3＋x2－x＋1等，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都是能夠進(jìn)行因式分解的，但是把這一類多項(xiàng)式直接進(jìn)行因式分解可不是一件容易的事，本文借助于復(fù)數(shù)開方知識來解決這個(gè)問題。

首先，我們討論多項(xiàng)式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解問題。

由復(fù)數(shù)開方理論知，x5－1＝0的根為xk＝cos ＋isin

（k＝0，1，2，3，4）。

于是x5－1＝（x－x0）（x－x1）（x－x2）（x－x3）（x－x4）

＝（x－1）［x－（cos ＋isin ）］［x－（cos ＋

isin ）］［x－（cos ＋isin ）］［x－（cos ＋isin ）］

＝（x－1）［（x＋cos ）＋isin ］［（x＋cos ）－isin ］

［（x－cos ）＋isin ］［（x－cos ）－isin ］

＝（x－1）［（x＋cos ）2＋sin2 ］［（x－cos ）＋sin2 ］

＝（x－1）（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）

另一方面，x5－1＝（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）

比較此二式，便得多項(xiàng)式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解為：

x4＋x3＋x2＋x＋1＝（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1） （1）

關(guān)于多項(xiàng)式x4－x3＋x2－x＋1的因式分解，其方法類似于多項(xiàng)式x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解。這樣，最簡單的方法就是利用（1）式的結(jié)果，即（1）式中的x用－x代替，得：x4－x3＋x2－x＋1＝（x2－2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）（2）

同樣，我們可對多項(xiàng)式x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1的因式分解進(jìn)行類似地討論，結(jié)果為x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1＝（x2＋

2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）（x2＋2xcos ＋1）（3）

在公式（3）中，用－x代替x，則得x6－x5＋x4－x3＋x2－x＋

1＝（x2－2xcos ＋1）（x2＋2xcos ＋1）（x2－2xcos ＋1）。

五 綜合除法

例，把x5＋x4－6x3－14x2－11x－3分解因式。

解：∵首項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為3，而3的因數(shù)為1和3，

∴只需用1、－1和3、－3試除。

－1－6－14－11－3

－1－0＋6＋8＋3－1

－1

－1

－1

1＋0－6－8－3＋0

1＋1＋5＋3

1－1－5

3＋0

－1＋2＋3

1－2－3＋0

－1＋3

1－3＋0

∴原式＝（x＋1）4（x－3）

參考文獻(xiàn)

［1］賴慶國.也談實(shí)系數(shù)二元二次多項(xiàng)式可實(shí)分解的充要條件［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1998（3）

［2］閻滿富、王朝霞.多元二次多項(xiàng)式可分解的判別法［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（3）

〔責(zé)任編輯：高照〕